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《圆的方程》教案
在教学工作者实际的教学活动中，常常要写一份优秀的教案，教案有助于学生理解并掌握系统的知识。来参考自己需要的教案吧！以下是小编收集整理的《圆的方程》教案，欢迎大家借鉴与参考，希望对大家有所帮助。
《圆的方程》教案1
1。教学目标
(1)知识目标: 1。在平面直角坐标系中,探索并掌握圆的标准方程;
2。会由圆的方程写出圆的半径和圆心,能根据条件写出圆的方程。
(2)能力目标: 1。进一步培养学生用解析法研究几何问题的能力;
2。使学生加深对数形结合思想和待定系数法的理解;
3。增强学生用数学的意识。
(3)情感目标:培养学生主动探究知识、合作交流的意识,在体验数学美的过程中激发学生的学习兴趣。
2。教学重点。难点
(1)教学重点:圆的标准方程的求法及其应用。
(2)教学难点:会根据不同的已知条件,利用待定系数法求圆的标准方程以及选择恰
当的坐标系解决与圆有关的实际问题。
3。教学过程
(一)创设情境(启迪思维)
问题一:已知隧道的截面是半径为4m的半圆,车辆只能在道路中心线一侧行驶,一辆宽为2。7m,高为3m的货车能不能驶入这个隧道?
[引导] 画图建系
[学生活动]:尝试写出曲线的方程(对求曲线的方程的步骤及圆的定义进行提示性复习)
解:以某一截面半圆的圆心为坐标原点,半圆的直径AB所在直线为x轴,建立直角坐标系,则半圆的方程为x2 y2=16(y≥0)
将x=2。7代入,得 。
即在离隧道中心线2。7m处,隧道的`高度低于货车的高度,因此货车不能驶入这个隧道。
(二)深入探究(获得新知)
问题二:1。根据问题一的探究能不能得到圆心在原点,半径为 的圆的方程?
答:x2 y2=r2
2。如果圆心在 ,半径为 时又如何呢?
[学生活动] 探究圆的方程。
[教师预设] 方法一:坐标法
如图,设M(x,y)是圆上任意一点,根据定义点M到圆心C的距离等于r,所以圆C就是集合P={MMC=r}
由两点间的距离公式,点M适合的条件可表示为 ①
把①式两边平方,得(x?a)2 (y?b)2=r2
方法二:图形变换法
方法三:向量平移法
(三)应用举例(巩固提高)
《圆的方程》教案2
本章在“第三章 直线与方程”的基础上，在直角坐标系中建立圆的方程，并通过圆的方程，研究直线与圆、圆与圆的位置关系。
在直角坐标系中，建立几何对象的方程，并通过方程研究几何对象，这是研究几何问题的重要方法。通过坐标系，把点与坐标、曲线与方程联系起来，实现空间形式与数量关系的结合。
一、内容与课程学习目标
本章主要内容是在直角坐标系中建立圆的方程，并通过圆的方程，研究直线与圆、圆与圆的位置关系。通过本章学习，要使学生达到如下学习目标：
1．回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程与一般方程。
2．能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系。
3．能用直线和圆的方程解决一些简单的问题。
4．进一步体会用代数方法处理几何问题的思想。
5．通过具体情境，感受建立空间直角坐标系的必要性，了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标系刻画点的位置。
6．通过表示特殊长方体（所有棱分别与坐标轴平行）顶点的坐标，探索并得出空间两点间的距离公式。
二、内容安排
本章内容共分三节，约需9课时，具体课时分配如下（仅供参考）：
4．1 圆的方程 约2课时
4．2 直线、圆的位置关系 约4课时
4．3 空间直角坐标系 约2课时
小 结 约1课时
本章知识结构如下：
1．“直线与方程”一章研究了直线方程的各种形式、直线之间的位置关系以及直线之间位置关系的简单应用。本章在第三章的基础上，学习圆的有关知识——圆的标准方程、圆的一般方程；继续运用“坐标法”研究直线与圆、圆与圆的位置关系等几何问题；学习空间直角坐标系的有关知识，用坐标表示简单的空间的几何对象。
2．“圆的方程”一节包括圆的标准方程、圆的一般方程两部分。首先提出确定圆的几何要素这个问题，指出圆心和半径是确定一个圆最基本的要素，然后引导学生用代数的语言（方程）描述圆，进而得到圆心为C（a，b ），半径为r的圆的标准方程（x－a）2＋（y－b）2＝r2。对圆的标准方程进行变形，可以得出圆的一般方程，它们是表示圆的方程的两种形式。
3．“直线、圆的位置关系”中，先从几何角度指出它们之间的直线与直线、直线与圆的位置关系，然后用方程去描述它们，通过方程研究直线、圆的位置关系。最后安排了直线与圆的方程在解决实际问题和平面几何问题方面的应用。
通过方程，研究直线与圆、圆与圆的位置关系是本章的主要内容之一。判断直线与圆、圆与圆的位置关系可以从两个方面入手：
（1）曲线C1与C2有无公共点，等价于由它们的方程组成的方程组有无实数解．方程组有几组实数解，曲线C1与C2就有几个公共点；方程组没有实数解，C1与C2就没有公共点。
（2）运用平面几何知识，把直线与圆、圆与圆的位置关系的结论转化为相应的代数问题。
在本节的最后，进一步指出用坐标方法解决几何问题的“三部曲”：
第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题；
第二步：通过代数运算，解决代数问题；
第三步：把代数运算结果“翻译”成几何结论。
4．“空间直角坐标系”包括空间直角坐标系的概念，用坐标表示空间中简单的几何对象，以及空间中两点间的距离公式。
5．为了使学生更好地了解“坐标法”，认识信息技术在探求轨迹方面的作用，本章安排了“阅读与思考 坐标法与机器证明”和“探究与发现 用《几何画板》探求点的轨迹（圆）”。“阅读与思考 坐标法与机器证明”介绍了坐标法、笛卡儿、坐标法与机器证明之间的关系、机器证明的思想，以及在机器证明方面作出重大贡献的的我国著名数学家吴文俊先生。目的是拓广学生的知识面，了解我国数学家作出的重大贡献，激发学生进一步深入学习数学的兴趣。“探究与发现 用《几何画板》探求点的轨迹（圆）”介绍了《几何画板》在探求点的轨迹，帮助学生猜想、发现方面的作用。
三、编写中考虑的几个问题
1．始终贯穿“坐标法”的思想
解析几何的特点是用代数的方法研究几何图形。对于义务教育阶段中判断圆与直线、圆与圆之间的位置关系的方法，学生并不陌生。这里研究问题的方法与以前不同，这就是坐标法．
在建立圆的标准方程时，首先帮助学生回顾确定圆的要素，然后利用坐标法来刻画圆，建立了圆的标准方程；判断圆与直线、圆与圆的位置关系时，首先回顾义务教育阶段如何判断圆与直线、圆与圆的位置关系，然后利用坐标法研究它们。从另一个角度看，既然圆、直线都可以用方程来刻画，那么就可以通过对方程的研究来研究直线与圆、圆与圆的位置关系，这就是两曲线是否有公共点的问题，即它们的方程组成的方程组有没有实数解的问题。本章在进行圆与直线、圆与圆的位置关系判断时，常常采用这两种方法．
2．从一个或几个数学问题展开知识内容
问题是数学的心脏。引入知识内容时，常设置一个或几个问题，创设一种情境，一方面引起学生的兴趣，另一方面引起学生解决问题的`求知欲望。
比如“4. 1.2 圆的一般方程”，提出了两个思考题
思考：方程x2＋y2－2x＋4y＋1＝0表示什么图形？方程x2＋y2－2x－4y＋6＝0表示什么图形？
实际上，对方程x2＋y2－2x－4y＋6＝0配方，得（x－1）2＋（y－2）2＝－1，这个方程不表示任何图形。
紧接着，教科书又提出一个让学生探究的问题。
探究：形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的方程在什么条件下表示圆？
教科书环环相扣，把学生引入一个又一个“愤”与“悱”的境地，使得学生通过问题的解决学习新的知识。
3．关注结论形成的过程，通过思考、探究，得出结论
本章在编写时注意呈现方式，不直接给出结论，让学生证明。而是把结论放在学生经过一系列数学活动之后，通过思考、探究，得出结论。比如，用“坐标法”解决问题的“三部曲”就是通过解决一系列问题后得出。在例题的呈现时，增加了分析的过程，重点分析解题的思路。在探求点的轨迹时，提倡先用信息技术工具探究轨迹的形状，对问题有一个直观的了解，然后再分析轨迹形成的原因，找出解决问题的方法，使得学生抓住问题的本质，理清思路，制订合理的解题策略。
4．充分利用教科书边空，提出具有一定思考价值的问题，强调重要的数学思想方法
利用教科书边空不失时机地提出一些具有一定思考价值的问题，例如：
（1）当一个问题解决之后，询问“还有其他不同的解法吗？”或者是“有更好的解法吗？”
（2）当同一个问题有两种解法时，要求比较它们的优劣。如“请同学们比较这两种证明方法，并指出各自的特点？”在比较中加深理解，促使学生养成解题后反思的良好习惯．
（3）当同一个问题有多种解法时，要求学生在教科书已经给出一种或两种解法的基础上再给出一种。
归纳、抽象是重要的数学思想方法。在问题解决之后，要求学生进行一些简单的归纳。例如，“4. 1.1 圆的标准方程”，在学习了例2与例3之后，提出“比较例2和例3，你能归纳出求任意三角形外接圆的标准方程的两种方法吗？”
通过问题的开放性，触类旁通地提出问题。比如，研究圆C1：x2＋2＋2x＋8y－8＝0与圆C2：x2＋y2－4x－4y－2＝0的关系时，把它们的方程相减，得到 x＋2y－1＝0。在边空处要求“画出圆C1与2以及方程x＋2y－1＝0表示的直线，你发现了什么？你能说明为什么吗？”更进一步，能否说，要研究圆C1与圆C2的关系只要研究直线x＋2y－1＝0与C1（或C2）的关系就可以了呢？这一问题，不仅体现了“化归”的思想，而且是颇具思考价值的．
5．注意加强与实际问题、其他学科的联系
本章内容的选择尽可能加强与学生的生活、生产实际的联系。比如，为说明研究直线与圆的位置关系的必要性，设置了一个渔船能否避开台风的问题：
一艘轮船在沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报：台风中心位于轮船正西70 km处，受影响的范围是半径长为30 km的圆形区域. 已知港口位于台风中心正北40 km处，如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响？
在直线与圆的方程的应用部分，设置了与圆拱桥有关的计算题。学习空间直角坐标系时，要求写出食盐晶胞中钠原子在空间直角坐标系中的位置（坐标）等等。
6．介绍科技成果，渗透数学文化
本章通过设置“阅读与思考 坐标法与机器证明”栏目，介绍科学家、数学史、数学在现代生活中的应用等，机器证明几何定理是坐标法的精彩应用，我国数学家吴文俊先生在这方面有着重要的贡献，较为详细地介绍了机器证明几何定理研究的历史。
四、对教学的几个建议
1．认真把握教学要求
教学中，注意控制教学的难度，避免进行综合性强、难度较大的数学题的训练，避免在解题技巧上做文章。比如，义务教育阶段“空间与图形”部分涉及的许多结论都可以用坐标法来加以证明，而义务教育阶段的教学要求已经有所改变。因此，用坐标法证明平面几何题要求不宜过高，适可而止。再如，教科书不介绍圆的切线方程x0x+y0y＝r2，这并不是说不涉及圆与直线相切这一位置关系。与直线相切这一位置关系的判断可以有两种方法，一种是利用圆心到直线的距离等于半径长；另一种是利用它们的方程组成的方程组只有一组实数解。
2．关注重要数学思想方法的教学
重要的数学思想方法不怕重复。《普通高中数学课程标准（实验）》要求“坐标法”应贯穿平面解析几何教学的始终，帮助学生不断地体会“数形结合”的思想方法。在教学中应自始至终强化这一思想方法，这是解析几何的特点。教学中注意“数”与“形”的结合，在通过代数方法研究几何对象的位置关系以后，还可以画出其图形，验证代数结果；同时，通过观察几何图形得到的数学结论，对结论进行代数证明，不应割断它们之间的联系，只强调其一方面。
3．关注学生的动手操作和主动参与
学习方式的转变是课程改革的重要目标之一。教学中，注意提供充分的数学活动和交流的机会，引导他们在自主探索的过程中获得知识、增强技能、掌握基本的数学思想方法。例如，判断直线与圆、圆与圆的位置关系以及它们的简单应用，探究点的轨迹等内容，可以先让学生画一画、想一想，然后进行代数论证。“观察”“思考”“探究”等栏目设置目的之一就是想让学生参与到数学活动中来。
4．关注信息技术的应用
平面解析几何是一门典型的数与形结合的学科，信息技术在加强几何直观，促使数与形结合方面有着特殊的作用。借助信息技术，可以形象、直观地帮助学生认识所研究的曲线。在动态演示中，观察曲线的性质，在直观了解的基础上，寻求形成这些性质的原因以及代数表示。通过对方程的研究，了解曲线与曲线的关系时，运用信息技术，可以进一步验证得到的结果，为抽象的认识增添了形象的支持。在探究点的轨迹时，可以借助信息技术，探究轨迹的形状等等。
《圆的方程》教案3
教学目标：
1、知识与技能目标:理解并掌握圆的标准方程，会根据不同条件求圆的标准方程，能从圆的标准方程熟练地写出它的圆心坐标与半径。
2、过程与方法目标：通过对圆的标准方程的推导及应用，渗透数形结合、待定系数法等数学思想方法，提高学生的观察、比较、分析、概括等思维能力。
3、情感与价值观目标：通过学生主动参与圆的相关知识的探讨和几何画板在解与圆有关问题中的应用，激发学生数学学习的兴趣，培养学生的创新精神。
教学重点：
圆的标准方程的推导及应用。
教学难点：
利用圆的几何性质求圆的标准方程。
教学方法：
本节课采用“诱思探索”的教学方法，借助学生已有的知识引出新知;在概念的形成与深化过程中，以一系列的问题为主线，采用讨论式，引导学生主动探究，自己构建新知识;通过层层深入的例题配置，使学生思路逐步开阔，提高解决问题的能力。
同时借助多媒体，增强教学的直观性，有利于渗透数形结合的思想，同时增大课堂容量，提高课堂效率。
教学过程：
一、复习引入 ：
1、 提问：初中平面几何学习的哪些图形?
初中平面几何中所学是两个方面的'知识：直线形的和曲线形的。在曲线形方面学习的是圆，学习解析几何以来，已经讨论了直线方程，今天我们来研究最简单、最完美的曲线圆的方程。
2、提问：具有什么性质的点的轨迹是圆?
强调确定一个圆需要的的条件为：圆心与半径,它们分别确定了圆的位置与大小，
二、概念的形成：
1、让学生根据显示在屏幕上的圆自己探究圆的方程。
教师演示圆的形成过程，让学生自己探究圆的方程，教师巡视，加强对学生的个别指导，由学生讲解思路，根据学生的回答，教师展示学生的想法，将两种解法同时显示在屏幕上，方便学生对比。
学生通常会有两种解法：
解法1：(圆心不在坐标原点)设M(x,y)是一动点，点M在该圆上的充要条件是|CM|=r。由两点间的距离公式，得
=r。
两边平方，得
(x-a)2+(y-b)2=r2。
解法2：(圆心在坐标原点)设M(x,y)是一动点，点M在该圆上的充要条件是|CM|=r。由两点间的距离公式，得
=r
两边平方，得
x2+y2=r2
若学生只有一种做法，教师可引导学生建立不同的坐标系，有自己发现另一个方程。
2、圆的标准方程：(x-a)2+(y-b)2=r2
当a=b=0时，方程为x2+y2=r2
三、 概念深化：
归纳圆的标准方程的特点：
①圆的标准方程是一个二元二次方程;
②圆的标准方程由三个独立的条件a、b、r决定;
③圆的标准方程给出了圆心的坐标和半径。
四、 应用举例：
练习1 104页练习8-9 1、2(学生口答)
练习2 说出方程 (x+m)2+ (y+n)2=a2的圆心与半径。
例1 、根据下列条件，求圆的方程：
(1)圆心在点C(-2,1)，并且过点A(2，-2);
(2)圆心在点C(1,3),并且与直线3x-4y –6=0相切;
(3)过点A(2,3),B(4,9),以线段AB为直径。
分析探求：让学生说出如何作出这些圆，教师用几何画板做图，帮助学生理清解题思路，由学生自己解答，并通过几何画板来验证。
例2、 求过点A(0,1),B(2,1)且半径为 的圆的方程。
分析探求：鼓励学生一题多解，先让学生自己求解，再相互讨论、交流、补充，最后教师将学生的想法用多媒体进行展示。
思路一：利用待定系数法设方程为 (x-a) 2 + (y-b) 2 = 5，将两点坐标代入，列方程组，求得a,b,再代入圆的方程。
思路二：利用圆心在圆上两点的垂直平分线上这一性质，利用待定系数法设方程为 (x-1) 2 + (y-b) 2 = 5，将一点坐标代入，列方程，求得b,再代入圆的方程。
思路三：画出圆的图形，利用直角三角形，直接求圆心坐标。
由例1、例2总结求圆的标准方程的方法。
五、反馈练习：
104页练习8-9 3(要求学生限时完成)
六、归纳总结：
学生小结并相互补充，师生共同整理完善。
1、圆的标准方程的推导;
2、圆的标准方程的形式;
3、求圆的方程的方法;
4、数学思想。
七、课后作业：(略)
《圆的方程》教案4
教学目标：
1、掌握圆的标准方程，能根据圆心、半径写出圆的标准方程。
2、会用待定系数法求圆的标准方程。
教学重点：圆的标准方程
教学难点：会根据不同的已知条件，利用待定系数法求圆的标准方程。
教学过程：
（一）、情境设置：
在直角坐标系中，确定直线的基本要素是什么？圆作为平面几何中的基本图形，确定它的要素又是什么呢？什么叫圆？在平面直角坐标系中，任何一条直线都可用一个二元一次方程来表示，那么，圆是否也可用一个方程来表示呢？如果能，这个方程又有什么特征呢？
探索研究：
（二）、探索研究：
确定圆的基本条件为圆心和半径，设圆的圆心坐标为A（a，b），半径为r。（其中a、b、r都是常数，r>0）设M（x，y）为这个圆上任意一点，那么点M满足的条件是（引导学生自己列出）P={M||MA|=r}，由两点间的距离公式让学生写出点M适合的.条件①
化简可得：②
引导学生自己证明为圆的方程，得出结论。
方程②就是圆心为A（a，b），半径为r的圆的方程，我们把它叫做圆的标准方程。
（三）、知识应用与解题研究
例1．（课本例1）写出圆心为，半径长等于5的圆的方程，并判断点是否在这个圆上。
分析探求：可以从计算点到圆心的距离入手。
探究：点与圆的关系的判断方法：
（1）>，点在圆外
（2）=，点在圆上
（3）<，点在圆内
解：
例2．（课本例2）的三个顶点的坐标是求它的外接圆的方程。
师生共同分析：不在同一条直线上的三个点可以确定一个圆，三角形有唯一的外接圆。从圆的标准方程可知，要确定圆的标准方程，可用待定系数法确定三个参数。
解：
例3．（课本例3）已知圆心为的圆经过点和，且圆心在上，求圆心为的圆的标准方程。
师生共同分析：如图，确定一个圆只需确定圆心位置与半径大小。圆心为的圆经过点和，由于圆心与A，B两点的距离相等，所以圆心在线段AB的垂直平分线m上，又圆心在直线上，因此圆心是直线与直线m的交点，半径长等于或。
解：
总结归纳：（教师启发，学生自己比较、归纳）比较例2、例3可得出圆的标准方程的两种求法：
1、根据题设条件，列出关于的方程组，解方程组得到的值，写出圆的标准方程。
②﹑根据确定圆的要素，以及题设条件，分别求出圆心坐标和半径大小，然后再写出圆的标准方程。
（四）、课堂练习（课本P120练习1，2，3，4）
归纳小结：
1、圆的标准方程。
2、点与圆的位置关系的判断方法。
3、根据已知条件求圆的标准方程的方法。
作业布置：课本习题4。1A组第2，3，4题。
课后记：
《圆的方程》教案5
学习目标
1.通过求做匀速圆周运动的质点的参数方程，掌握求一般曲线的参数方程的基本步骤.
2.熟悉圆的参数方程，进一步体会参数的意义。
学习过程
一、学前准备
1.在直角坐标系中圆的标准方程和一般方程是什么?
二、新课导学
探究新知(预习教材P12～P16，找出疑惑之处)
如图：设圆 的半径是 ，
点 从初始位置 ( 时的位置)出发，按逆时针方向在圆 上作匀速圆周运动，点 绕点 转动的角速度为 ，以圆心 为原点， 所在的直线为 轴，建立直角坐标系。显然，点 的位置由时刻 惟一确定，因此可以取 为参数。如果在时刻 ，点 转过的角度是 ，坐标是 ，那么 。设 ，那么由三角函数定义，有
即
这就是圆心在原点 ，半径为 的圆的参数方程，其中参数 有明确的物理意义(质点作匀速圆周运动的时刻)。考虑到 ，也可以取 为参数，于是有
应用示例
例1.圆 的半径为2， 是圆上的动点， 是 轴上的`定点， 是 的中点，当点 绕 作匀速圆周运动时，求点 的轨迹的参数方程.
(教材P24例2)
《圆的方程》教案6
教学目标
(一)知识目标
1.掌握圆的标准方程：根据圆心坐标、半径熟练地写出圆的标准方程，能从圆的标准方程中熟练地求出圆心坐标和半径；
2.理解并掌握切线方程的探求过程和方法。
(二)能力目标
1．进一步培养学生用坐标法研究几何问题的能力；
2. 通过教学，使学生学习运用观察、类比、联想、猜测、证明等合情推理方法，提高学生运算能力、逻辑思维能力；
3. 通过运用圆的标准方程解决实际问题的学习，培养学生观察问题、发现问题及分析、解决问题的能力。
(三)情感目标
通过运用圆的知识解决实际问题的学习，理解理论来源于实践，充分调动学生学习数学的热情，激发学生自主探究问题的兴趣，同时培养学生勇于探索、坚忍不拔的意志品质。
教学重、难点
(一)教学重点
圆的标准方程的理解、掌握。
(二)教学难点
圆的标准方程的应用。
教学方法
选用引导?探究式的教学方法。
教学手段
借助多媒体进行辅助教学。
教学过程
Ⅰ.复习提问、引入课题
师：前面我们学习了曲线和方程的关系及求曲线方程的方法。请同学们考虑：如何求适合某种条件的点的轨迹？
生：①建立适当的直角坐标系，设曲线上任一点M的坐标为(x，y)；②写出适合某种条件p的点M的集合P＝｛M ?p（M）｝；③用坐标表示条件，列出方程f(x,y)=0；④化简方程f(x,y)=0为最简形式。⑤证明以化简后方程的解为坐标的点都是曲线上的点（一般省略）。［多媒体演示］
师：这就是建系、设点、列式、化简四步曲。用这四步曲我们可以求适合某种条件的任何曲线方程，今天我们来看圆这种曲线的方程。［给出标题］
师：前面我们曾证明过圆心在原点，半径为5的圆的方程：x2+y2=52 即x2+y2=25.
若半径发生变化，圆的方程又是怎样的？能否写出圆心在原点，半径为r的圆的方程？
生：x2+y2=r2.
师：你是怎样得到的？（引导启发）圆上的点满足什么条件？
生：圆上的任一点到圆心的距离等于半径。即 ，亦即 x2+y2=r2.
师：x2+y2=r2 表示的圆的位置比较特殊：圆心在原点，半径为r.有时圆心不在原点，若此圆的圆心移至C（a,b）点（如图），方程又是怎样的？
生：此圆是到点C(a,b)的距离等于半径r的点的集合，
由两点间的距离公式得
即：（x-a）2+(y-b)2= r2
Ⅱ.讲授新课、尝试练习
师：方程（x-a）2+(y-b)2= r2 叫做圆的标准方程.
特别：当圆心在原点，半径为r时，圆的标准方程为：x2+y2=r2.
师：圆的标准方程由哪些量决定？
生：由圆心坐标（a,b）及半径r决定。
师：很好！实际上圆心和半径分别决定圆的位置和大小。由此可见，要确定圆的方程，只需确定a、b、r这三个独立变量即可。
1、 写出下列各圆的标准方程：［多媒体演示］
① 圆心在原点，半径是3 ：________________________
② 圆心在点C（3，4），半径是 ：______________________
③ 经过点P（5，1），圆心在点C（8，－3）：_______________________
2、 变式题［多媒体演示］
① 求以C（1，3）为圆心，并且和直线3x-4y-7=0相切的圆的方程。
答案：(x-1)2 + (y-3)2 =
② 已知圆的方程是 (x-a)2 +y2 = a2 ,写出圆心坐标和半径。
答案： C（a,0）, r=|a|
Ⅲ.例题分析、巩固应用
师：下面我们通过例题来看看圆的标准方程的应用.
［例1］ 已知圆的方程是 x2+y2=17，求经过圆上一点P（，）的切线的方程。
师：你打算怎样求过P点的切线方程？
生：要求经过一点的直线方程，可利用直线的'点斜式来求。
师： 斜率怎样求？
生：。。。。。。
师：已知条件有哪些？能利用吗？不妨结合图形来看看（如图）
生：切线与过切点的半径垂直，故斜率互为负倒数
半径OP的斜率 K1＝， 所以切线的斜率 K＝－＝－
所以所求切线方程：y-= －(x-)
即：x+y=17 (教师板书)
师：对照圆的方程x2+y2=17和经过点P（，）的切线方程x+y=17，你能作出怎样的猜想？
生：。。。。。。
师：由x2+y2=17怎样写出切线方程x+y=17,与已知点P（，）有何关系？
（若看不出来，再看一例）
［例1/］ 圆的方程是x2+y2=13，求过此圆上一点（2，3）的切线方程。
答案：2x+3y=13 即：2x+3y－13＝0
师：发现规律了吗？（学生纷纷举手回答）
生：分别用切点的横坐标和纵坐标代替圆方程中的一个x和一个y，便得到了切线方程。
师：若将已知条件中圆半径改为r，点改为圆上任一点（xo,yo）,则结论将会发生怎样的变化？大胆地猜一猜！
生：xox+yoy=r2.
师：这个猜想对不对？若对，可否给出证明？
生：。。。。。。
［例2］已知圆的方程是 x2+y2=r2，求经过圆上一点P（xo,yo）的切线的方程。
解：如图(上一页)，因为切线与过切点的半径垂直，故半径OP的斜率与切线的斜率互为负倒数
∵半径OP的斜率 K1＝，∴切线的斜率 K＝－＝－
∴所求切线方程：y-yo= － (x-xo)
即：xox+yoy=xo2+yo2 亦即：xox+yoy=r2. (教师板书)
当点P在坐标轴上时，可以验证上面方程同样适用。
归纳总结：圆的方程可看成 x.x+y.y=r2,将其中一个x、y用切点的坐标xo、yo 替换，可得到切线方程
［例3］右图为某圆拱桥的一孔圆拱的示意图.该圆拱跨度AB＝20M，拱高OP＝4M，在建造时每隔4M需用一个支柱支撑，求支柱A2P2的长度。（精确到0.01M）
引导学生分析，共同完成解答。
师生分析：①建系； ②设圆的标准方程（待定系数）；③求系数（求出圆的标准方程）；④利用方程求A2P2的长度。
解：以AB所在直线为X轴，O为坐标原点，建立如图所示的坐标系。则圆心在Y轴上，设为
（0，b）,半径为r，那么圆的方程是 x2+(y-b)2=r2.
∵P(0,4),B(10,0)都在圆上，于是得到方程组：
解得：b=-10.5 ,r2=14.52
∴圆的方程为 x2+(y＋10.5)2=14.52.
将P2的横坐标x=-2代入圆的标准方程
且取y>0
得：y=
≈14.36-10.5=3.86 (M)
答：支柱A2P2的长度约为3.86M。
Ⅳ.课堂练习、课时小结
课本Ｐ77练习2，3
师：通过本节学习，要求大家掌握圆的标准方程，理解并掌握切线方程的探求过程和方法，能运用圆的方程解决实际问题.
Ⅴ.问题延伸、课后作业
(一)若P（xo,yo）在圆（x-a）2+(y-b)2= r2上时，?求过P点的圆的切线方程。
课本Ｐ81习题7.7 : 1，2，3，4
(二)预习课本Ｐ77～Ｐ79
《圆的方程》教案7
1.教学目标
(1)知识目标: 1.在平面直角坐标系中,探索并掌握圆的标准方程;
2.会由圆的方程写出圆的半径和圆心,能根据条件写出圆的方程.
(2)能力目标: 1.进一步培养学生用解析法研究几何问题的能力;
2.使学生加深对数形结合思想和待定系数法的理解;
3.增强学生用数学的意识.
(3)情感目标:培养学生主动探究知识、合作交流的意识,在体验数学美的过程中激发学生的学习兴趣.
2.教学重点.难点
(1)教学重点:圆的标准方程的求法及其应用.
(2)教学难点:会根据不同的已知条件,利用待定系数法求圆的标准方程以及选择恰
当的坐标系解决与圆有关的实际问题.
3.教学过程
(一)创设情境(启迪思维)
问题一:已知隧道的截面是半径为4m的半圆,车辆只能在道路中心线一侧行驶,一辆宽为2.7m,高为3m的货车能不能驶入这个隧道?
[引导] 画图建系
[学生活动]:尝试写出曲线的方程(对求曲线的方程的步骤及圆的定义进行提示性复习)
解:以某一截面半圆的圆心为坐标原点,半圆的直径ab所在直线为x轴,建立直角坐标系,则半圆的方程为x2 y2=16(y≥0)
将x=2.7代入,得 .
即在离隧道中心线2.7m处,隧道的高度低于货车的高度,因此货车不能驶入这个隧道。
(二)深入探究(获得新知)
问题二:1.根据问题一的探究能不能得到圆心在原点,半径为 的圆的方程?
答:x2 y2=r2
2.如果圆心在 ,半径为 时又如何呢?
[学生活动] 探究圆的方程。
[教师预设] 方法一:坐标法
如图,设m(x,y)是圆上任意一点,根据定义点m到圆心c的距离等于r,所以圆c就是集合p={m||mc|=r}
由两点间的距离公式,点m适合的条件可表示为 ①
把①式两边平方,得(x―a)2 (y―b)2=r2
方法二:图形变换法
方法三:向量平移法
(三)应用举例(巩固提高)
i.直接应用(内化新知)
问题三:1.写出下列各圆的方程(课本p77练习1)
(1)圆心在原点,半径为3;
(2)圆心在 ,半径为 ;
(3)经过点 ,圆心在点 .
2.根据圆的方程写出圆心和半径
(1) ; (2) .
ii.灵活应用(提升能力)
问题四:1.求以 为圆心,并且和直线 相切的圆的方程.
[教师引导]由问题三知:圆心与半径可以确定圆.
2.已知圆的方程为 ,求过圆上一点 的切线方程.
[学生活动]探究方法
[教师预设]
方法一:待定系数法(利用几何关系求斜率-垂直)
方法二:待定系数法(利用代数关系求斜率-联立方程)
方法三:轨迹法(利用勾股定理列关系式) [多媒体课件演示]
方法四:轨迹法(利用向量垂直列关系式)
3.你能归纳出具有一般性的结论吗?
已知圆的'方程是 ,经过圆上一点 的切线的方程是: .
iii.实际应用(回归自然)
问题五:如图是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图,该圆拱跨度ab=20m,拱高op=4m,在建造时每隔4m需用一个支柱支撑,求支柱 的长度(精确到0.01m).
[多媒体课件演示创设实际问题情境]
(四)反馈训练(形成方法)
问题六:1.求以c(-1,-5)为圆心,并且和y轴相切的圆的方程.
2.已知点a(-4,-5),b(6,-1),求以ab为直径的圆的方程.
3.求圆x2 y2=13过点(-2,3)的切线方程.
4.已知圆的方程为 ,求过点 的切线方程.
《圆的方程》教案8
一.复习引入
提问：
以A(a，b)为圆心，半径为r的圆的标准方程是什么?
讨论并归纳回答。
复习巩固加强记忆。
二.新课讲授
1.思考：
我们先来判断两个具体的方程是否表示圆?
2.教师提问：
(1).是不是任何一个形如 的方程表示的曲线都是圆?
(2).如果不是那么在什么条件下表示圆?(提示：与圆的标准方程进行比较。)
综上所述，方程
表示的曲线不一定是圆,只有当 时，它表示的曲线才是圆， 我们把方程 ( )称为圆的一般方程
与一般的二元二次方程 比较
我们来看圆的一般方程的特点：(启发学生归纳)
学生根据已有的.知识，经过配方，把方程化成标准形式，然后加以判断。
1.
2.
(让学生相互讨论后,由学生总结)
配方得总结
当 时，此方程表示以(- ，- )为圆 心, 为半径的圆;
当 时，此方程只有实数解 ， ，即只表示一个点(- ，- );
当 时，此方程没有实数解，因而它不表示任何图形
①x2和y2的系数相同，不等于0.
②没有xy这样的二次项
使新知识建立在学生已有的知识上
设置问题：提出疑问，诱导学生主动思考，主动探究，合作交流使学生在积极的学习中解决问题，提高学生的教学思维能力，实现素质教育的目标，同时也培养了学生的情感、态度与价值观。
提高学生分析问题和解决问题的能力。
圆的标准方程
圆的一般方程
方程
圆心
半径
r
优点
几何特征明显
突出方程形式上的特点
问题:圆的标准方程与圆的一般方程各有什么特点?
采用类比法加深在研究问题中由简单到复杂，由特殊到一般的化归思想的认识。
练习1.判断下列方程是否表示圆? 如果是 ,请求出圆的圆心及半径.
三.例题讲解：
例1：求过三点A(0，0)，B(1，1)，C(4，2)的圆的方程，并求这个圆的半径长和圆心坐标。
分析:已知曲线类型,应采用待定系数法
使用待定系数法的圆的方程的一般步骤：
1.根据题意，选择标准方程或一般方程;
2.根据条件列出关于a、b、r或D、E、F的方程组;
3.解出a、b、r或D、E、F，代入标准方程或一般方程。
例2.已知线段 的端点 的坐标是 ，端点 在圆 上运动，求线段 中点 的坐标 中 满足的关系?并说明该关系表示什么曲线?
练习2.求圆心在直线 上,并且经过原点和点(3,-1)的圆的方程
课堂小结
(1)任何一个圆的方程都可以写成 的形式，但是方程 的曲线不一定是圆;当 时，方程 称为圆的一般方程。
(2)圆的一般方程与圆的标准方程可以互相转化;熟练应用配方法求出圆心坐标和半径.
(3)用待定系数法求圆的方程时需要灵活选用方程形式.
想一想:可否先求圆心和半径,再得出圆的方程?
(提示学生结合图形，圆的弦的中垂线的交点为圆心 ，圆心到圆上一点的距离为半径)
加强待定系数法的应用
培养学生数形结合思想，进一步加强学生用代数方法研究几何问题的能力，体现了本节的知识与技能目标。
练习：P123：1、2、3
生：练习
4.1.2 圆的一般方程
课时设计 课堂实录
4.1.2 圆的一般方程
1第一学时 教学活动 活动1【活动】活动
四.教学过程
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
复习圆的定义及圆的标准方程特征
创设问题
设疑
类比
教师引导
《圆的方程》教案9
㈠课时目标
1．掌握圆的一般式方程及其各系数的几何特征。
2．待定系数法之应用。
㈡问题导学
问题1：写出圆心为（a，b），半径为r的圆的方程，并把圆方程改写成二元二次方程的形式。 —2ax—2by+ =0
问题2：下列方程是否表示圆的方程，判断一个方程是否为圆的方程的标准是什么？
① ； ② 1
③ 0； ④ —2x+4y+4=0
⑤ —2x+4y+5=0； ⑥ —2x+4y+6=0
㈢教学过程
[情景设置]
把圆的标准方程 展开得 —2ax—2by+ =0
可见，任何一个圆的方程都可以写成下面的形式：
+Dx+Ey+F=0 ①
提问：方程表示的曲线是不是圆？一个方程表示的曲线是否为圆有标准吗？
[探索研究]
将①配方得 ： （ ） ②
将方程 ②与圆的标准方程对照。
⑴当 ＞0时， 方程 ②表示圆心在 （— ），半径为 的圆。
⑵当 =0时，方程①只表示一个点（— ）。
⑶当 ＜0时， 方程①无实数解，因此它不表示任何图形。
结论： 当 ＞0时， 方程 ①表示一个圆， 方程 ①叫做圆的一般方程。
圆的标准方程的优点在于明确地指出了圆心和半径，而一般方程突出了形式上的特点：
⑴ 和 的系数相同，不等于0；
⑵没有xy这样的二次项。
以上两点是二元二次方程A +Bxy+C +Dx+Ey+F=0表示圆的必要条件，但不是充分条件
[知识应用与解题研究]
[例1] 求下列各圆的'半径和圆心坐标。
⑴ —6x=0； ⑵ +2by=0（b≠0）
[例2]求经过O（0，0），A（1，1），B（2，4）三点的圆的方程，并指出圆心和半径。
分析：用待定系数法设方程为 +Dx+Ey+F=0 ，求出D，E，F即可。
[例3]已知一曲线是与两个定点O（0，0）、A（3，0）距离的比为 的点的轨迹，求此曲线的方程，并画出曲线。
分析：本题直接给出点，满足条件，可直接用坐标表示动点满足的条件得出方程。
反思研究：到O（0，0），A（1，1）的距离之比为定植k（k>0）的点的轨迹又如何？当k=1时为直线，k>0时且k≠1时为圆。
㈣提炼总结
1．圆的一般方程： +Dx+Ey+F=0 （ ＞0）。
2．二元二次方程A +Bxy+C +Dx+Ey+F=0表示圆的必要条件是：A=C≠0且B=0。
3．圆的方程两种形式的选择：与圆心半径有直接关系时用标准式，无直接关系选一般式。
4．两圆的位置关系（相交、相离、相切、内含）。
㈤布置作业
1．直线l过点P（3，0）且与圆 —8x—2y+12=0截得的弦最短，则直线l的方程为：
2．求下列各圆的圆心、半径并画出它们的图形。
⑴ —2x—5=0； ⑵ +2x—4y—4=0
3．经过两圆 +6x—4=0和 +6y—28=0的交点，并且圆心在直线x—y—4=0上的圆的方程。
《圆的方程》教案10
教学目标
（1）掌握圆的标准方程，能根据圆心坐标和半径熟练地写出圆的标准方程，也能根据圆的标准方程熟练地写出圆的圆心坐标和半径．
（2）掌握圆的一般方程，了解圆的一般方程的结构特征，熟练掌握圆的标准方程和一般方程之间的互化．
（3）了解参数方程的概念，理解圆的参数方程，能够进行圆的普通方程与参数方程之间的互化，能应用圆的参数方程解决有关的简单问题．
（4）掌握直线和圆的位置关系，会求圆的切线．
（5）进一步理解曲线方程的概念、熟悉求曲线方程的方法．
教学建议
教材分析
（1）知识结构
（2）重点、难点分析
①本节内容教学的重点是圆的标准方程、一般方程、参数方程的推导，根据条件求圆的方程，用圆的`方程解决相关问题．
②本节的难点是圆的一般方程的结构特征，以及圆方程的求解和应用．
教法建议
（1）圆是最简单的曲线．这节教材安排在学习了曲线方程概念和求曲线方程之后，学习三大圆锥曲线之前，旨在熟悉曲线和方程的理论，为后继学习做好准备．同时，有关圆的问题，特别是直线与圆的位置关系问题，也是解析几何中的基本问题，这些问题的解决为圆锥曲线问题的解决提供了基本的思想方法．因此教学中应加强练习，使学生确实掌握这一单元的知识和方法．
（2）在解决有关圆的问题的过程中多次用到配方法、待定系数法等思想方法，教学中应多总结．
（3）解决有关圆的问题，要经常用到一元二次方程的理论、平面几何知识和前边学过的解析几何的基本知识，教师在教学中要注意多复习、多运用，培养学生运算能力和简化运算过程的意识．
（4）有关圆的内容非常丰富，有很多有价值的问题．建议适当选择一些内容供学生研究．例如由过圆上一点的切线方程引申到切点弦方程就是一个很有价值的问题．类似的还有圆系方程等问题．
篇二：圆的一般方程
教学目标：
（1）掌握圆的一般方程及其特点．
（2）能将圆的一般方程转化为圆的标准方程，从而求出圆心和半径．
（3）能用待定系数法，由已知条件求出圆的一般方程．
（4）通过本节课学习，进一步掌握配方法和待定系数法．
教学重点：
（1）用配方法，把圆的一般方程转化成标准方程，求出圆心和半径．
（2）用待定系数法求圆的方程．
教学难点：圆的一般方程特点的研究．
教学用具：计算机．
教学方法：启发引导法，讨论法．
教学过程：
【引入】
前边已经学过了圆的标准方程
把它展开得
任何圆的方程都可以通过展开化成形如
①的方程
【问题1】
形如①的方程的曲线是否都是圆？
师生共同讨论分析：
如果①表示圆，那么它一定是某个圆的标准方程展开整理得到的．我们把它再写成原来的形式不就可以看出来了吗？运用配方法，得
②
显然②是不是圆方程与 是什么样的数密切相关，具体如下：
（1）当 时，②表示以 为圆心、以 为半径的圆；
（2）当 时，②表示一个点 ；
（3）当 时，②不表示任何曲线．
总结：任意形如①的方程可能表示一个圆，也可能表示一个点，还有可能什么也不表示．
圆的一般方程的定义：
当 时，①表示以 为圆心、以 为半径的圆，
此时①称作圆的一般方程．
即称形如 的方程为圆的一般方程．
【问题2】圆的一般方程的特点，与圆的标准方程的异同．
（1） 和 的系数相同，都不为0．
（2）没有形如 的二次项．
圆的一般方程与一般的二元二次方程
③
相比较，上述（1）、（2）两个条件仅是③表示圆的必要条件，而不是充分条件或充要条件．
圆的一般方程与圆的标准方程各有千秋：
（1）圆的标准方程带有明显的几何的影子，圆心和半径一目了然．
（2）圆的一般方程表现出明显的代数的形式与结构，更适合方程理论的运用．
【实例分析】
例1：下列方程各表示什么图形．
（1） ；
（2） ；
（（3） ．
学生演算并回答
（1）表示点（0，0）；
（2）配方得 ，表示以 为圆心，3为半径的圆；
（3）配方得 ，当 、 同时为0时，表示原点（0，0）；当 、 不同时为0时，表示以 为圆心， 为半径的圆．
例2：求过三点 ， ， 的圆的方程，并求出圆心坐标和半径．
分析：由于学习了圆的标准方程和圆的一般方程，那么本题既可以用标准方程求解，也可以用一般方程求解．
解：设圆的方程为
因为 、 、 三点在圆上，则有
解得： ， ，
所求圆的方程为
可化为
圆心为 ，半径为5．
请同学们再用标准方程求解，比较两种解法的区别．
《圆的方程》教案11
一、教材分析
本章将在上章学习了直线与方程的基础上，学习在平面直角坐标系中建立圆的代数方程，运用代数方法研究直线与圆，圆与圆的位置关系，了解空间直角坐标系，在这个过程中进一步体会数形结合的思想，形成用代数方法解决几何问题的能力。
二、教学目标
1、 知识目标：使学生掌握圆的标准方程并依据不同条件求得圆的方程。
2、 能力目标：
(1)使学生初步熟悉圆的标准方程的用途和用法。
(2)体会数形结合思想，形成代数方法处理几何问题能力(3)培养学生观察、比较、分析、概括的思维能力。
三、重点、难点、疑点及解决办法
1、重点：圆的标准方程的推导过程和圆的标准方程特点的明确。
2、难点：圆的.方程的应用。
3、解决办法 充分利用课本提供的2个例题，通过例题的解决使学生初步熟悉圆的标准方程的用途和用法。
四、学法
在课前必须先做好充分的预习，让学生带着疑问听课，以提高听课效率。采取学生共同探究问题的学习方法。
五、教法
先让学生带着问题预习课文，对圆的方程有个初步的认识，在教学过程中，主要采用启发性原则，发挥学生的思维能力、空间想象能力。在教学中，还不时补充练习题，以巩固学生对新知识的理解，并紧紧与考试相结合。
六、教学步骤
（一）导入新课 首先让学生回顾上一章的直线的方程是怎么样求出的。
（二）讲授新课
1、新知识学习在学生回顾确定直线的要素——两点（或者一点和斜率）确定一条直线的基础上，回顾确定圆的几何要素——圆心位置与半径大小，即圆是这样的一个点的集合在平面直角坐标系中，圆心 可以用坐标 表示出来，半径长 是圆上任意一点与圆心的距离，根据两点间的距离公式，得到圆上任意一点 的坐标 满足的关系式。经过化简，得到圆的标准方程
2、知识巩固
学生口答下面问题
1、求下列各圆的标准方程。
① 圆心坐标为（-4，-3）半径长度为6；
② 圆心坐标为（2，5）半径长度为3；2、求下列各圆的圆心坐标和半径。
3、知识的延伸根据“曲线与方程”的意义可知，坐标满足方程的点在曲线上，坐标不满足方程的点不在曲线上，为了使学生体验曲线和方程的思想，加深对圆的标准方程的理解，教科书配置了例1。
例1要求首先根据坐标与半径大小写出圆的标准方程，然后给一个点，判断该点与圆的关系，这里体现了坐标法的思想，根据圆的坐标及半径写方程——从几何到代数；根据坐标满足方程来看在不在圆上——从代数到几何。
（三）知识的运用
例2给出不在同一直线上的三点，可以画出一个三角形，三角形有唯一的外接圆，因此可以求出他的标准方程。由于圆的标准方程含有三个参数 , ,因此必须具备三个独立条件才能确定一个圆。引导学生找出求三个参数的方法，让学生初步体验用“待定系数法”求曲线方程这一数学方法的使用过程
（四）小结一、知识概括
1、 圆心为 ，半径长度为 的圆的标准方程为
2、 判断给出一个点，这个点与圆什么关系。
3、 怎样建立一个坐标系，然后求出圆的标准方程。
4、思想方法
（1）建立平面直角坐标系，将曲线用方程来表示，然后用方程来研究曲线的性质，这是解析几何研究平面图形的基本思路，本节课的学习对于研究其他圆锥曲线有示范作用。
（2）曲线与方程之间对立与统一的关系正是“对立统一”的哲学观点在教学中的体现。
五、布置作业（第127页2、3、4题）
《圆的方程》教案12
课 型：新授课
教学目标：
（1）理解直线与圆的位置关系的几何性质；
（2）利用平面直角坐标系解决直线与圆的位置关系；
（3）会用“数形结合”的数学思想解决问题．
教学重点、难点：
直线与圆的方程的应用．
教学过程：
一、复习引入：
问题1：如何判断直线与圆的位置关系？
问题2：如何判断圆与圆的位置关系？
直线与圆的方程在生产、生活实践以及数学中有着广泛的应用，这几节课我们将通过一些例子学习直线与圆的方程在实际生活以及平面几何等方面的应用
二、新课教学：
例1．（课本例4）图4。2-5是某圆拱形桥的'示意图。这个圆的圆拱跨度AB=20m，拱高OP=4m，建造时每间隔4m需要用一根支柱支撑，求支柱的高度（精确到0.01m）.
小结方法:用坐标法解决实际应用题的步骤：
第一步：将实际应用题转化为数学问题，建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题；
第二步：通过代数运算，解决代数问题；
第三步：将代数运算结果“翻译”成实际结论，．
例2．（课本例5）已知内接于圆的四边形的对角线互相垂直,求证圆心到一边的距离等于这条边所对边长的一半.
小结方法:用坐标法解决几何问题的步骤：
第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题；
第二步：通过代数运算，解决代数问题；
第三步：将代数运算结果“翻译”成几何结论．
课堂练习：课本练习第2，3，4题;
课后作业：课本习题4.2A组第8，11题.B组第1题
《圆的方程》教案13
教学目的：
掌握圆的标准方程，并能解决与之有关的问题
教学重点：
圆的标准方程及有关运用
教学难点：
标准方程的灵活运用
教学过程：
一、导入新课，探究标准方程
二、掌握知识，巩固练习
练习：
⒈说出下列圆的方程
⑴圆心（3，-2）半径为5⑵圆心（0，3）半径为3
⒉指出下列圆的圆心和半径
⑴（x-2）2+(y+3)2=3
⑵x2+y2=2
⑶x2+y2-6x+4y+12=0
⒊判断3x-4y-10=0和x2+y2=4的位置关系
⒋圆心为（1，3），并与3x-4y-7=0相切，求这个圆的方程
三、引伸提高，讲解例题
例1、圆心在y=-2x上，过p(2,-1)且与x-y=1相切求圆的方程（突出待定系数的.数学方法）
练习：
1、某圆过(-2,1)、(2,3)，圆心在x轴上，求其方程。
2、某圆过A(-10,0)、B(10,0)、C(0,4)，求圆的方程。
例2：某圆拱桥的跨度为20米，拱高为4米，在建造时每隔4米加一个支柱支撑，求A2P2的长度。
例3、点M(x0,y0)在x2+y2=r2上,求过M的圆的切线方程(一题多解,训练思维)
四、小结练习P771，2，3，4
五、作业P811，2，3，4
《圆的方程》教案14
1教学目标
（一）知识与技能：
1、理解并掌握圆的一般方程的形式，会将圆的标准方程化为一般方程；
2、明确圆的标准方程和一般方程的常数之间的关系，会用这种关系求圆的圆心坐标和半径；
3、逐步学会用配方法将圆的一般方程表示为标准方程、
（二）过程与方法：
1、从不同的角度得出圆的方程表示形式，培养学生从多角度认识事物、研究问题的习惯和能力；
2、随着探索研究的不断推进，逐步让学生发现圆的一般方程的特点，培养学生观察、归纳能力；
3、通过一题多解，培养学生发散思维；
4、在合作交流中采用问题呈现的方式，引导学生积极探索，主动学习，培养合作精神、
（三）情感态度与价值观：借助于多媒体课件，让学生感受数与式之间的内部的和谐美，提高学习数学的兴趣、
2学情分析
数学属于“难攻”的科目，学生基础差，学习兴趣不高，缺乏主动性。因此在教学设计上要多考虑学生的实际因素，由易到难，层层递进，激发并引导学生自主学习是教师教学的主要目的之一。
3重点难点
教学重点： 圆的一般方程及一般方程的.特点、
教学难点： 圆的一般方程的特点及用待定系数法求圆的方程、
4教学过程
4、1第一学时
教学活动 活动1【导入】教学活动
一、复习与回顾：
1、圆的标准方程
2、圆心在（-1,2），与 y 轴相切的圆的方程、
3、已知圆经过P(5,1),圆心在C(8,3),求圆方程
二、探索研究，引出新课：
1、问题引入： 方程(x+3)2+(y-4)2=6为几元几次方程？ （展开整理）
2、将圆的标准方程展开整理：
注意：①圆的方程是二元二次方程； ②x2、y2的系数相等； ③不含xy项。
3、 用配方法将圆的一般方程化为标准方程： x2+y2+Dx+Ey+F=0 ④D、E、F满足
4、 圆的标准方程和一般方程可以相互转化： x2+y2+Dx+Ey+F=0 常数D、E、F与a、b、r之间的关系： r2=a2+b2-F
三、应用举例：
例1：判断下列方程能否表示圆的方程,若能，化成标准方程，写出圆心与半径。
例2:求过三点A(0,5),B (1,-2),C(-3,-4)的圆的方程 （一题多解）
例3、 已知一曲线是与两定点O(0,0)、A(3,0)距离的比为1/2的点的轨迹，求此曲线的方程，并画出曲线、
四，课堂练习：
（1）已知圆x2+y2+Dx+Ey+F=0的圆心坐标是(-2,3),半径为4，则D=______，E=_____F=_____；
（2）圆x2+y2-2ax-y+a=0表示圆，则a的取值范围是______；
（3）圆x2+y2+4x+2by+ =0与X轴相切，则b=_____；
（4）已知点P在圆C： 上运动，求线段OP的中点M的轨迹方程。
五、课堂小结：
1、圆的一般方程: X2+y2+Dx+Ey+F=0(其中D2+E2-4F>0)、
2、圆的一般方程与圆的标准方程的关系: 圆的标准方程的优点在于它明确指出了圆的圆心及半径,而一般方程突出了方程形式上的特点、
3、圆的标准方程与二元二次方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0的关系: (1)A=C≠0,(2)B=0,(3) D2+E2-4AF>0时,二元二次方程才表示圆的一般方程、
4、圆的一般方程的特点: (1)x2和y2的系数相同且不等于0、 (2)没有xy这样的二次项,因此只要求出了D,E,F就求出了圆的一般方程、
六， 布置作业：
基础题：P99：A组1，2 B组1，2
《圆的方程》教案15
课名
《圆的标准方程》
教师
贾伟
学科（版本）
北师大版的数学必修2
章节
第二章第2节
学时
1学时
年级
高一年级
教材分析
圆是学生在初中已初步了解了圆的知识及前面学习了直线方程的基础上来进一步学习《圆的标准方程》，它既是前面圆的知识的复习延伸，又是后继学习圆与直线的位置关系奠定了基础。因此，本节课在本章中起着承上启下的重要作用。
教学目标
1、知识与技能：探索并掌握圆的标准方程，能根据方程写出圆的坐标和圆的半径。
2、过程与方法：通过圆的标准方程的学习，掌握求曲线方程的方法，领会数形结合的思想。
3、情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，感受学习成功的喜悦。
教学重点难点
以及措施
教学重点：圆的标准方程理解及运用
教学难点：根据不同条件，利用待定系数求圆的标准方程。
根据教学内容的特点及高一年级学生的年龄、认知特征，紧紧抓住课堂知识的结构关系，遵循“直观认知――操作体会――感悟知识特征――应用知识”的认知过程，设计出包括：观察、操作、思考、交流等内容的教学流程。并且充分利用现代化信息技术的教学手段提高教学效率。以此使学生获取知识，给学生独立操作、合作交流的机会。学法上注重让学生参与方程的推导过程，努力拓展学生思维的空间，促其在尝试中发现，讨论中明理，合作中成功，让学生真正体验知识的形成过程。
学习者分析
高一年级的学生从知识层面上已经掌握了圆的相关性质；从能力层面具备了一定的观察、分析和数据处理能力，对数学问题有自己个人的看法；从情感层面上学生思维活跃积极性高，但他们数学应用意识和语言表达的能力还有待加强。
教法设计
问题情境引入法启发式教学法讲授法
学法指导
自主学习法讨论交流法练习巩固法
教学准备：
ppt课件导学案
一、教学环节
二、教学内容
三、教师活动
四、学生活动
五、设计意图
六、情景引入
七、回顾复习（2分钟）
1、观赏生活中有关圆的图片
2、回顾复习圆的定义，并观看圆的生成flash动画。
八、提问：
直线可以用一个方程表示，那么圆可以用一个方程表示吗？
教师创设情景，引领学生感受圆。
教师提出问题。引导学生思考，引出本节主旨。
学生观赏圆的图片和动画，思考如何表示圆的方程。
生活中的图片展示，调动学生学习的积极性，让学生体会到园在日常生活中的广泛应用
九、自主学习（5分钟）
1、介绍动点轨迹方程的求解步骤：
（1）建系：在图形中建立适当的坐标系；
（2）设点：用有序实数对（x，y）表示曲线上任意一点M的坐标；
（3）列式：用坐标表示条件P（M）的方程；
（4）化简：对P（M）方程化简到最简形式；
2、学生自主学习圆的方程推导，并完成相应学案内容，
教师介绍求轨迹方程的步骤后，引导学生自学圆的标准方程
自主学习课本中圆的标准方程的推导过程，并完成导学案的内容，并当堂展示。
培养学生自主学习，获取知识的能力
十、合作探究（10分钟）
1、根据圆的标准方程说明确定圆的方程的条件有哪些？
2、点M（x0，y0）与圆（x、a）2+（y、b）2=r2的关系的判断方法：
（1）点在圆上
（2）点在圆外
（3）点在圆内
教师引导学生分组探讨，从旁巡视指导学生在自学和探讨中遇到的'问题，并鼓励学生以小组为单位展示探究成果。
学生展开合作性的探讨，并陈述自己的研究成果。
通过合作探究和自我的展示，鼓励学生合作学习的品质
十一、当堂训练（18分钟）
1、求下列圆的圆心坐标和半径
C1：x2+y2=5
C2：（x、3）2+y2=4
C3：x2+（y+1）2=a2（a≠0）
2、以C（4，、6）为圆心，半径等于3的圆的标准方程
3、设圆（x、a）2+（y、b）2=r2则坐标原点的位置是（）
A、在圆外B、在圆上
C、在圆内D、与a的取值有关
4、写出下列各圆的标准方程
（1）圆心在原点，半径等于5
（2）经过点P（5，1），圆心在点C（6，、2）；
（3）以A（2，5），B（0，、1）为直径的圆、
5、下列方程分别表示什么图形
（1）x2+y2=0
（2）（x、1）2 =8、（y+2）2
（3）圆的标准方程
6、巩固提升：已知圆心为C的圆经过点A（1，1）和B（2，2），且圆心在直线l：x、y+1=0上，求圆C的标准方程并作图
指导学生就不同条件下给出的圆心和半径关系，求解圆的标准方程这两个要素展开训练。
学生自主开展训练，并纠正学习中所遇到的问题
巩固所学知识，并查缺补漏。
十二、回顾小结
（1分钟）
1、你学到了哪些知识？
2、你掌握了哪些技能？
3、你体会到了哪些数学思想？
采用提问的形式帮助学生回顾和分析本节所学。
学生思考并从知识、技能和思想方法上回顾总结。
培养学生归纳总结能力
十三、作业布置（1分钟）
课本87页习题2、2
A组的第1道题
布置训练任务
标记并完成相应的任务
检测学生掌握知识情况。
十四、教学反思
本节教学主要遵循“回、导、学、展、讲、练、结”的高效课堂教学模式，遵循学生学习的主体地位，鼓励学生自主思考和探讨。
教学中要积极鼓励学生多思考总结，在判断点与圆的位置关系中，要遵从学生个性化的发展思路，鼓励学生创造性的解决问题。
《圆的方程》教案16
1、教学目标
(1)知识目标：
1、在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程;
2、会由圆的方程写出圆的半径和圆心，能根据条件写出圆的方程;
3、利用圆的方程解决与圆有关的实际问题。
(2)能力目标：
1、进一步培养学生用解析法研究几何问题的能力;
2、使学生加深对数形结合思想和待定系数法的理解;
3、增强学生用数学的意识。
(3)情感目标：培养学生主动探究知识、合作交流的意识，在体验数学美的过程中激发学生的学习兴趣。
2、教学重点、难点
(1)教学重点：圆的标准方程的求法及其应用。
(2)教学难点：①会根据不同的已知条件，利用待定系数法求圆的标准方程
②选择恰当的坐标系解决与圆有关的实际问题。
3、教学过程
(一)创设情境(启迪思维)
问题一：已知隧道的截面是半径为4m的半圆，车辆只能在道路中心线一侧行驶，一辆宽为2。7m，高为3m的货车能不能驶入这个隧道?
[引导]：画图建系
[学生活动]：尝试写出曲线的方程(对求曲线的方程的步骤及圆的定义进行提示性复习)
解：以某一截面半圆的圆心为坐标原点，半圆的直径AB所在直线为x轴，建立直角坐标系，则半圆的方程为x2+y2=16(y≥0)
将x=2。7代入，得
即在离隧道中心线2。7m处，隧道的高度低于货车的高度，因此货车不能驶入这个隧道。
(二)深入探究(获得新知)
问题二：
1、根据问题一的探究能不能得到圆心在原点，半径为的圆的方程?
答：x2+y2=r2
2、如果圆心在，半径为时又如何呢?
[学生活动]：探究圆的方程。
[教师预设]：方法一：坐标法
如图，设M(x，y)是圆上任意一点，根据定义点M到圆心C的距离等于r，所以圆C就是集合P={M||MC|=r}
由两点间的距离公式，点M适合的条件可表示为①
把①式两边平方，得(x―a)2+(y―b)2=r2
方法二：图形变换法
方法三：向量平移法
(三)应用举例(巩固提高)
I.直接应用(内化新知)
问题三：
1、写出下列各圆的方程(课本P77练习1)
(1)圆心在原点，半径为3;
(2)圆心在，半径为
(3)经过点，圆心在点
2、根据圆的方程写出圆心和半径
II.灵活应用(提升能力)
问题四：
1、求以为圆心，并且和直线相切的圆的方程。
[教师引导]由问题三知：圆心与半径可以确定圆。
2、求过点，圆心在直线上且与轴相切的圆的方程。
[教师引导]应用待定系数法寻找圆心和半径。
3、已知圆的方程为，求过圆上一点的切线方程。
[学生活动]探究方法
[教师预设]方法一：待定系数法(利用几何关系求斜率—垂直)
方法二：待定系数法(利用代数关系求斜率—联立方程)
方法三：轨迹法(利用勾股定理列关系式)[多媒体课件演示]
方法四：轨迹法(利用向量垂直列关系式)
4、你能归纳出具有一般性的结论吗?
已知圆的方程是，经过圆上一点的切线的方程是：
III.实际应用(回归自然)
问题五：如图是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图，该圆拱跨度AB=20m，拱高OP=4m，在建造时每隔4m需用一个支柱支撑，求支柱的长度(精确到0。01m)。
[多媒体课件演示创设实际问题情境]
(四)反馈训练(形成方法)
问题六：
1、求以C(-1，-5)为圆心，并且和y轴相切的圆的方程。
2、已知点A(-4，-5)，B(6，-1)，求以AB为直径的圆的方程。
3、求过点，且圆心在直线上的圆的标准方程。
4、求圆x2+y2=13过点P(—2，3)的切线方程。
5、已知圆的方程为，求过点的切线方程。
(五)小结反思(拓展引申)
1、课堂小结：
(1)知识性小结：
①圆心为C(a，b)，半径为r的圆的标准方程为：
当圆心在原点时，圆的标准方程为：
②已知圆的方程是，经过圆上一点的切线的方程是：
(2)方法性小结：
①求圆的方程的方法：I。找出圆心和半径;II。待定系数法
②求解应用问题的一般方法
2、分层作业：(A)巩固型作业：课本P81—82：(习题7。6)1、2、4
(B)思维拓展型作业：
试推导过圆上一点的切线方程。
3、激发新疑：
问题七：
1、把圆的标准方程展开后是什么形式?
2、方程：的曲线是什么图形?
设计说明
圆是学生比较熟悉的曲线。初中平面几何对圆的基本性质作了比较系统的.研究，因此这节课的重点就放在了用解析法研究它的方程和圆的标准方程的一些应用上。首先，在已有圆的定义和求曲线方程的一般步骤的基础上，用实际问题引导学生探究获得圆的标准方程，然后，利用圆的标准方程由潜入深的解决问题，并通过最终在实际问题中的应用，增强学生用数学的意识。另外，为了培养学生的理性思维，我分别在引例和问题四中，设计了两次由特殊到一般的学习思路，培养学生的归纳概括能力。在问题的设计中，我用一题多解的探究，纵向挖掘知识深度，横向加强知识间的联系，培养了学生的创新精神，并且使学生的有效思维量加大，随时对所学知识和方法产生有意注意，能力与知识的形成相伴而行，这样的设计不但突出了重点，更使难点的突破水到渠成。
本节课的设计了五个环节，以问题为纽带，以探究活动为载体，使学生在问题的指引下、我的指导下把探究活动层层展开、步步深入，充分体现以教师为主导，以学生为主体的指导思想，应用启发式的教学方法把学生学习知识的过程转变为学生观察问题、发现问题、分析问题、解决问题的过程，在解决问题的同时提锻炼了思维、提高了能力、培养了兴趣、增强了信心。
高中数学有效的学习方法
一、课后及时回忆
如果等到把课堂内容遗忘得差不多时才复习，就几乎等于重新学习，所以课堂学习的新知识必须及时复习。
可以一个人单独回忆，也可以几个人在一起互相启发，补充回忆。一般按照教师板书的提纲和要领进行，也可以按教材纲目结构进行，从课题到重点内容，再到例题的每部分的细节，循序渐进地进行复习。在复习过程中要不失时机整理笔记，因为整理笔记也是一种有效的复习方法。
二、定期重复巩固
即使是复习过的内容仍须定期巩固，但是复习的次数应随时间的增长而逐步减小，间隔也可以逐渐拉长。可以当天巩固新知识，每周进行周小结，每月进行阶段性总结，期中、期末进行全面系统的学期复习。从内容上看，每课知识即时回顾，每单元进行知识梳理，每章节进行知识归纳总结，必须把相关知识串联在一起，形成知识网络，达到对知识和方法的整体把握。
三、科学合理安排
复习一般可以分为集中复习和分散复习。实验证明，分散复习的效果优于集中复习，特殊情况除外。分散复习，可以把需要识记的材料适当分类，并且与其他的学习或娱乐或休息交替进行，不至于单调使用某种思维方式，形成疲劳。分散复习也应结合各自认知水平，以及识记素材的特点，把握重复次数与间隔时间，并非间隔时间越长越好，而要适合自己的复习规律。
高中数学考试的技巧
总体原则
1、先做简单题，后做难题。
2、遇到较难的大题，把所有跟该题有关的知识点都写出来，要知道数学讲究步骤分。
3、若是证明题，万一不会，可以先写出已知条件，再写出要证明的最后一步，再一步一步往上推，中间步骤随便写点。(使用于粗心的教师，但我们不提倡，重点是要平时学好)。
一、整体把握、抓大放小
拿到试卷后可以先快速浏览一下所有题目，根据积累的考试经验，大致估计一下每部分应该分配的时间。对于能够很快做出来的题目，一定要拿到应得的分数。
二、确定每部分的答题时间
1、考试时占用了很多时间却一点也没有做出来的题目。对于这类题目，你以后考试时就应该尽量减少时间，或者放弃，等以后学习进阶了再尝试着做。
2、考试时花了过多的时间才做出来的题目。对于这类题目，你以后平时做题时要尽量加快速度，或者通过“反复训练”等提高反应速度，这样，你下次考试时能用较少的时间做出来。
三、碰到难题时
1、你可以先用“直觉”最快的找到解题思路;
2、如果“直觉”不管用，你可以联想以前做过的类似的题目，从而找到解题思路;
3、如果这样也不行，你可以猜测一下这道题目可能涉及到的知识点和解题技巧。
4、对于花了一定时间仍然不能做出来的题目，要勇于放弃。
四、卷面整洁、字迹清楚、注意小节
做到卷面整洁、字迹清楚，把标点、符号、解题步骤等小的地方尽量做好，不要丢掉应得的每一分。
《圆的方程》教案17
1、教学目标
（1）知识目标：
a、在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程；
b、会由圆的方程写出圆的半径和圆心，能根据条件写出圆的方程；
c、利用圆的方程解决与圆有关的实际问题。
（2）能力目标：
a、进一步培养学生用解析法研究几何问题的能力；
b、使学生加深对数形结合思想和待定系数法的理解；
c、增强学生用数学的意识。
（3）情感目标：培养学生主动探究知识、合作交流的意识，在体验数学美的过程中激发学生的学习兴趣。
2、教学重点、难点
（1）教学重点： 圆的标准方程的求法及其应用。
（2）教学难点：
①会根据不同的已知条件，利用待定系数法求圆的标准方程
②选择恰当的坐标系解决与圆有关的实际问题。
3、教学过程
（一）创设情境（启迪思维）
问题一：已知隧道的截面是半径为4m的半圆，车辆只能在道路中心线一侧行驶，一辆宽为2.7m，高为3m的货车能不能驶入这个隧道？
[引导]：画图建系
[学生活动]：尝试写出曲线的方程（对求曲线的方程的步骤及圆的定义进行提示性复习）
解：以某一截面半圆的圆心为坐标原点，半圆的直径AB所在直线为x轴，建立直角坐标系，则半圆的方程为x2+y2=16（y≥0）
将x=2.7代入，得
即在离隧道中心线2。7m处，隧道的高度低于货车的高度，因此货车不能驶入这个隧道。
（二）深入探究（获得新知）
问题二：
1、根据问题一的探究能不能得到圆心在原点，半径为的圆的方程？
答：x2+y2=r2
2、如果圆心在，半径为时又如何呢？
[学生活动]：探究圆的方程。
[教师预设]：方法一：坐标法
如图，设M（x，y）是圆上任意一点，根据定义点M到圆心C的距离等于r，所以圆C就是集合P={M||MC|=r}
由两点间的距离公式，点M适合的条件可表示为①
把①式两边平方，得（x―a）2+（y―b）2=r2
方法二：图形变换法
方法三：向量平移法
（三）应用举例（巩固提高）
I直接应用（内化新知）
问题三：
1、写出下列各圆的方程（课本P77练习1）
（1）圆心在原点，半径为3；
（2）圆心在，半径为
（3）经过点，圆心在点
2、根据圆的方程写出圆心和半径
II灵活应用（提升能力）
问题四：
1、求以为圆心，并且和直线相切的圆的方程。
[教师引导] 由问题三知：圆心与半径可以确定圆。
2、求过点，圆心在直线上且与轴相切的圆的方程。
[教师引导] 应用待定系数法寻找圆心和半径。
3、已知圆的方程为，求过圆上一点的切线方程。
[学生活动] 探究方法
[教师预设]
多媒体课件演示：
方法一：待定系数法（利用几何关系求斜率—垂直）
方法二：待定系数法（利用代数关系求斜率—联立方程）
方法三：轨迹法（利用勾股定理列关系式）
方法四：轨迹法（利用向量垂直列关系式）
4、你能归纳出具有一般性的结论吗？
已知圆的方程是，经过圆上一点的切线的方程是：
III实际应用（回归自然）
问题五：如图是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图，该圆拱跨度AB=20m，拱高OP=4m，在建造时每隔4m需用一个支柱支撑，求支柱的长度（精确到0。01m）。
[多媒体课件演示创设实际问题情境]
（四）反馈训练（形成方法）
问题六：1、求以C（—1，—5）为圆心，并且和y轴相切的圆的方程。
2、已知点A（—4，—5），B（6，—1），求以AB为直径的圆的方程。
3、求过点且圆心在直线上的圆的标准方程。
4、求圆x2+y2=13过点P（—2，3）的切线方程。
5、已知圆的方程为，求过点的切线方程。
（五）小结反思（拓展引申）
1、课堂小结：
（1）知识性小结：
①圆心为C（a，b），半径为r 的圆的标准方程为：
当圆心在原点时，圆的标准方程为：
②已知圆的方程是，经过圆上一点的切线的方程是：
（2）方法性小结：
①求圆的方程的方法：
I找出圆心和半径；
II待定系数法
②求解应用问题的一般方法
2、分层作业：
（A）巩固型作业：课本P81—82：（习题7.6）1、2、4
（B）思维拓展型作业：
试推导过圆上一点的切线方程。
3、激发新疑：
问题七：
1、把圆的标准方程展开后是什么形式？
2、方程：的曲线是什么图形？
设计说明
圆是学生比较熟悉的曲线。初中平面几何对圆的基本性质作了比较系统的研究，因此这节课的重点就放在了用解析法研究它的方程和圆的标准方程的一些应用上。首先，在已有圆的定义和求曲线方程的一般步骤的基础上，用实际问题引导学生探究获得圆的标准方程，然后，利用圆的.标准方程由潜入深的解决问题，并通过最终在实际问题中的应用，增强学生用数学的意识。另外，为了培养学生的理性思维，我分别在引例和问题四中，设计了两次由特殊到一般的学习思路，培养学生的归纳概括能力。在问题的设计中，我用一题多解的探究，纵向挖掘知识深度，横向加强知识间的联系，培养了学生的创新精神，并且使学生的有效思维量加大，随时对所学知识和方法产生有意注意，能力与知识的形成相伴而行，这样的设计不但突出了重点，更使难点的突破水到渠成。
本节课的设计了五个环节，以问题为纽带，以探究活动为载体，使学生在问题的指引下、我的指导下把探究活动层层展开、步步深入，充分体现以教师为主导，以学生为主体的指导思想，应用启发式的教学方法把学生学习知识的过程转变为学生观察问题、发现问题、分析问题、解决问题的过程，在解决问题的同时提锻炼了思维、提高了能力、培养了兴趣、增强了信心。
《圆的方程》教案18
教学 目标：
（1）掌握圆的一般方程及其特点．
（2）能将圆的一般方程转化为圆的标准方程，从而求出圆心和半径．
（3）能用待定系数法，由已知条件求出圆的一般方程．
（4）通过本节课学习，进一步掌握配方法和待定系数法．
教学 重点：
（1）用配方法，把圆的一般方程转化成标准方程，求出圆心和半径．
（2）用待定系数法求圆的方程．
教学 难点：
圆的一般方程特点的研究．
教学 用具：
计算机．
教学 方法：
启发引导法，讨论法．
教学 过程 ：
【引入】
前边已经学过了圆的标准方程
把它展开得
任何圆的方程都可以通过展开化成形如
①
的方程
【问题1】
形如①的方程的曲线是否都是圆？
师生共同讨论分析：
如果①表示圆，那么它一定是某个圆的标准方程展开整理得到的．我们把它再写成原来的形式不就可以看出来了吗？运用配方法，得
②
显然②是不是圆方程与 是什么样的数密切相关，具体如下：
（1）当 时，②表示以 为圆心、以 为半径的圆；
（2）当 时，②表示一个点 ；
（3）当 时，②不表示任何曲线．
总结：任意形如①的方程可能表示一个圆，也可能表示一个点，还有可能什么也不表示．
圆的一般方程的定义：
当 时，①表示以 为圆心、以 为半径的圆，
此时①称作圆的一般方程．
即称形如 的方程为圆的一般方程．
【问题2】圆的一般方程的特点，与圆的标准方程的异同．
（1） 和 的系数相同，都不为0．
（2）没有形如 的二次项．
圆的一般方程与一般的二元二次方程
③
相比较，上述（1）、（2）两个条件仅是③表示圆的必要条件，而不是充分条件或充要条件．
圆的一般方程与圆的标准方程各有千秋：
（1）圆的标准方程带有明显的几何的影子，圆心和半径一目了然．
（2）圆的一般方程表现出明显的代数的形式与结构，更适合方程理论的运用．
【实例分析】
例1：下列方程各表示什么图形．
（1） ；
（2） ；
（3） ．
学生演算并回答
（1）表示点（0，0）；
（2）配方得 ，表示以 为圆心，3为半径的圆；
（3）配方得 ，当 、 同时为0时，表示原点（0，0）；当 、 不同时为0时，表示以 为圆心， 为半径的圆．
例2：求过三点 ， ， 的圆的方程，并求出圆心坐标和半径．
分析：由于学习了圆的标准方程和圆的一般方程，那么本题既可以用标准方程求解，也可以用一般方程求解．
解：设圆的方程为
因为 、 、 三点在圆上，则有
解得： ， ，
所求圆的方程为
可化为
圆心为 ，半径为5．
请同学们再用标准方程求解，比较两种解法的区别．
【概括总结】通过学生讨论，师生共同总结：
（1）求圆的方程多用待定系数法．其步骤为：由题意设方程（标准方程或一般方程）；根据条件列出关于待定系数的方程组；解方程组求出系数，写出方程．
（2）如何选用圆的标准方程和圆的一般方程．一般地，易求圆心和半径时，选用标准方程；如果给出圆上已知点，可选用一般方程．
下面再看一个问题：
例3： 经过点 作圆 的割线，交圆 于 、 两点，求线段 的'中点 的轨迹．
解：圆 的方程可化为 ，其圆心为 ，半径为2．设 是轨迹上任意一点．
∵
∴
即
化简得
点 在曲线上，并且曲线为圆 内部的一段圆弧．
【练习巩固】
（1）方程 表示的曲线是以 为圆心，4为半径的圆．求 、 、 的值．（结果为4，－6，－3）
（2）求经过三点 、 、 的圆的方程．
分析：用圆的一般方程，代入点的坐标，解方程组得圆的方程为 ．
（3）课本第79页练习1，2．
【小结】师生共同总结：
（1）圆的一般方程及其特点．
（2）用配方法化圆的一般方程为圆的标准方程，求圆心坐标和半径．
（3）用待定系数法求圆的方程．
【作业】课本第82页5，6，7，8．
【 板书 设计】
圆的一般方程
圆的一般方程
例1：
例2：
例3：
练习：
小结：
作业：
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