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分式方程教案

时间：2024-06-04 07:53:21 教案我要投稿

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分式方程教案

　　作为一名教师，总归要编写教案，编写教案有利于我们科学、合理地支配课堂时间。来参考自己需要的教案吧！以下是小编为大家整理的分式方程教案，供大家参考借鉴，希望可以帮助到有需要的朋友。

分式方程教案

分式方程教案1

　　教学目标：

　　1、本节课使学生在学完了可化为一元二次方程的分式方程的解法后，解决实际问题应用之一．——行程问题，使学生正确理解行程问题的有关概念和规律，会列分式方程解有关行程问题的应用题．

　　2、本节课通过列分式方程解有关行程问题的应用题，就是把实际问题转化为数学问题，这就要求学生能对实际问题分析、概括、总结、解，从而能进一步地提高学生分析问题和解决问题的能力．

　　教学重点：

　　列分式方程解有关行程问题．

　　教学难点：

　　如何分析和使用复杂的数量关系，找出相等关系，对于难点，解决的关键是抓住时间、路程、速度三者之间的关系，通过三者之间的关系的分析设出未知数和列出方程．

　　3．疑点：对于列分式方程解应用题，学生往往考虑到所解出的答案是否和题意相吻合，而认为可以不需要检验．通过本节的学习，使学生清楚地懂得列分式方程解应用题应首先检验所求出的方程的解是否是所列分式方程的解，然后考虑所满足方程的解是否与题意相吻合．

　　教学过程：

　　在上一节课，我们已经学习了可化为一元二次方程的分式方程的解法，我们知道，我们现在所学习的理论是先人通过千百年的实践总结，概括出来的`，我们学习理论是为了更好地解决实践当中所出现的问题．这一节课所学的内容就是运用上节课所学过的分式方程解法的知识去解决实际问题，关于本节内容，是学生在上节课所学过的分式方程的解法的基础上而学习的，所以点出由实践——理论——实践这一观点，能更加激发学生的求知欲，使得学生能充分地认识到学习理论知识和理论知识的运用同等重要，从而抓住学生的注意力，能使得学生充分地参与到教学活动中去．

　　为了使学生能充分地利用所学过的理论知识来解决实际问题，首先应对上一节课所学过的分式方程的解法进行复习，同时让学生回忆行程问题中的三个量——速度、路程、时间三者之间的关系，从而将学生的思路调动到本节课的内容中来，这样对于面向全体学生，大面积地提高教学质量大有益处．

　　一、新课引入：

　　1．解分式方程的基本思路是什么？解分式方程常用的两种方法是什么？

　　2．在匀速运动过程中，路程s、速度v、时间t三者之间的关系是什么？

　　3．以前所学过的列方程解应用题的步骤有哪些？

　　通过对问题1的复习，使学生对前一节内容得到巩固，对问题2的复习给学生设定一种悬念，以抓住学生的注意力，对问题3的复习，使学生对于问题2的悬念有了一种初步的判断，以便于点题——本节课所学的内容．

　　通过对前面三个复习问题的设计，学生能充分的认识到本节所要学习的内容，再加上适时点题，完全地将学生的注意力全部地集中到教师身上，充分发挥教师的指导作用，并调动起学生的积极性，发挥学生的主体作用．

　　二、新课讲解：

　　例1甲、乙二人同时从张庄出发，步行15千米到李庄．甲比乙每小时多走1千米，结果比乙早到半小时．二人每小时各走几千米？

　　分析：

　　（1）题目中已表明此题是行程问题，实质上是速度、路程、时间三者关系在题中的隐含．

　　（2）题目中所隐含的等量关系是：甲从张庄到李庄的时间比乙

分式方程教案2

　　一．教学课题：解分式方程微教案

　　二．教学目标：

　　【知识技能】：

　　1.理解分式方程的意义

　　2.了解解分式方程的基本思路和解法3．理解解分式方程时，可能无解的原因，并掌握解分式方程的验根方法

　　【过程与方法】：经历“实际问题——分式方程——整式方程”的过程，发展学生分析问题，解决问题的能力，渗透数学的转化思想，培养学生的应用意识。

　　【情感态度与价值观】：培养学生努力寻找解决问题的进取心，体会数学的应用价值。

　　三．教学重难点：

　　【教学重点】：解分式方程的基本思路和解法

　　【教学难点】：理解解分式方程时可能无解的原因四．教材内容分析：本节课学生已掌握简单的整式方程的解法（一元一次方程及二元一次方程组），学习过分式的四则运算。这节课是分式方程的起始课，要求能从实际的生活情境中抽象出分式方程的概念，主要研究分式方程及其解法，分式方程与整式方程在概念上是不同的，但他们在解法上却有着一定的联系和区别，即分式方程最终要转化为整式方程来解，但最后要验根这是学生最容易忘记的，所以教学中要强调。四．学情分析：本节课是在学生学习了分式及运算后学习分式方程，充分体现了分式方程与分式的联系及分式方程与整式方程的区别，让学生体会分式方程也是解决实际问题的重要手段。五、教学过程：环节一.创设情景，引入新课问题：一艘轮船在静水中的最大航速为20千米/时，它沿江以最大航速顺流航行100千米所用时间与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等，江水的流速为多少？

　　1.这个问题中给出了哪些信息，等量关系是什么？

　　2.设江水的流速为V千米/时轮船顺流航行速度为XXX千米/时,逆流航行速度为XXX千米/时,顺流航行100千米所用时间为X小时,XXX逆流航行60千米所用时间为XXX小时,列方程XXX

　　【师生行为】：教师提出问题，学生思考回答，在活动中教师关注：（1）学生能否将实际问题转化为数学问题（2）不同层次学生对实际问题抽象出数学模型的掌握情况。

　　【设计意图】通过实际中的行程问题，引导学生从分析入手，列出含未知数的式子表示有关量，并列出方程，引发学生学习兴趣，提出问题引发思考，为探索分式方程及分式方程的解法作准备，自然引出学习课题。

　　1.问题:

　　(1)方程与以前所学的整式方程有何不同？

　　(2)满足什么特点的方程叫分式方程？

　　板书：像这样分母中含有未知数的方程，叫做分式方程。归纳：确定是不是分式方程，主要是看是否符合分式方程的概念，方程的分母中含有未知数，像这样的'方程才属于分式方程。

　　2.练习

　　【设计意图】：通过让学生自己举例及判断哪些方程是分式方程，及时归纳总结，巩固所学知识既然我们已经清楚了什么样的方程是分式方程，那么分式方程你会解吗？让我们来看这样一题：如何解分式方程呢？

　　【教师提出问题】：

　　1.这样的方程你以前解过吗？

　　2.你以前解过什么方程？

　　3.那你能不能把这个方程转化为你会解的方程即整式方程呢？

　　4.怎么转化呢？

　　【师生行为】：教师提出问题，学生思考,讨论后在全班交流探究结果。教师在活动中关注:学生能否观察出分式方程与整式方程的区别学生是否有利用“转化思想”解决问题的意识学生是否在参与合作交流的活动中获取知识，学生是否从多角度来研究分式方程的解法。

　　【设计意图】：主要让学生运用“转化思想”探讨解分式方程的方法，鼓励学生从多角度思考问题，解释所获得结果的合理性，培养学生的发散思维。

　　环节三.应用迁移，巩固提高问题:（1）解分式方程：上面两个方程中,为什么去分母后所得整式方程的解是它的解,而去分母所得整式方程的解却不是它的解呢?（3）探究:分式方程无解的原因是什么？(分式方程去分母后的整式方程的解代入原分式方程分母中,分母为0无意义,所以分式方程无解)（4）探究:如何检验分式方程的解?1.直接代入原方程(计算量大,很少用)2.间接代入最简公分母(常用检验方法)

　　【设计意图】：主要让学生通过自己探索实践,找出分式方程无解的原因及验根的必要性.学生在教学活动中通过积极参与和有效参与,来达到知识与能力、过程和方法、情感态度与价值观的全面落实。

　　环节四. 总结反思，拓展升华探究:解分式方程基本思路是什么？有哪些步骤？每一步的目的是什么？解分式方程的基本思路是：分式方程通过去分母转化成整式方程。步骤：

　　步骤目的１．去分母（关键找最简公分母）将分式方程转化为整式方程２．解这个整式方程得到整式方程的解３．检验(代入最简公分母看是否为0,为0增根)舍去增根４．写出最终结果得到原方程的解

　　口诀：一化二解三检验四作答

　　【设计意图】：通过探究，引发学生的思考，让学生在自主探究合作交流中归纳总结解分式方程的基本思路和步骤，在合作交流中获得成功的快乐。

分式方程教案3

　　教学目标

　　1。知识与技能

　　能应用所学的函数知识解决现实生活中的问题，会建构函数“模型”。

　　2。过程与方法

　　经历探索一次函数的应用问题，发展抽象思维。

　　3。情感、态度与价值观

　　培养变量与对应的思想，形成良好的函数观点，体会一次函数的应用价值。

　　重、难点与关键

　　1。重点：一次函数的应用。

　　2。难点：一次函数的应用。

　　3。关键：从数形结合分析思路入手，提升应用思维。

　　教学方法

　　采用“讲练结合”的教学方法，让学生逐步地熟悉一次函数的应用。

　　教学过程

　　一、范例点击，应用所学

　　例5、小芳以200米/分的'速度起跑后，先匀加速跑5分，每分提高速度20米/分，又匀速跑10分，试写出这段时间里她的跑步速度y（单位：米/分）随跑步时间x（单位：分）变化的函数关系式，并画出函数图象。

　　例6、A城有肥料200吨，B城有肥料300吨，现要把这些肥料全部运往C、D两乡。从A城往C、D两乡运肥料的费用分别为每吨20元和25元；从B城往C、D两乡运肥料的费用分别为每吨15元和24元，现C乡需要肥料240吨，D乡需要肥料260吨，怎样调运总运费最少？

　　解：设总运费为y元，A城往运C乡的肥料量为x吨，则运往D乡的肥料量为（200—x）吨。B城运往C、D乡的肥料量分别为（240—x）吨与（60+x）吨。y与x的关系式为：y=20x+25（200—x）+15（240—x）+24（60+x），即y=4x+10040（0≤x≤200）。

　　由图象可看出：当x=0时，y有最小值10040，因此，从A城运往C乡0吨，运往D乡200吨；从B城运往C乡240吨，运往D乡60吨，此时总运费最少，总运费最小值为10040元。

　　拓展：若A城有肥料300吨，B城有肥料200吨，其他条件不变，又应怎样调运？

　　二、随堂练习，巩固深化

　　课本P119练习。

　　三、课堂总结，发展潜能

　　由学生自我评价本节课的表现。

　　四、布置作业，专题突破

　　课本P120习题14。2第9，10，11题。

分式方程教案4

　　教学设计思路

　　经历从实际问题中建立分式方程模型的过程，从分析分式方程的特点入手，引出解分式方程的根本思路。通过解分式方程讨论得出分式方程验根的必要性。通过例题稳固分式方程的解法，总结出解分式方程的步骤。

　　教学目标

　　知识与技能

　　1．通过对实际问题的分析，感受分式方程刻画现实世界的有效模型的意义。

　　2．通过观察、思考，归纳分式方程的概念。

　　3．解分式方程的一般步骤。

　　4．说出解分式方程验根的必要性。

　　过程与方法

　　1．通过具体例子，独立探索方程的解法，经历和体会解分式方程的必要步骤。

　　2．进一步体会数学思想中的“转化“思想，认识到能将分式方程转化为整式方程，从而找到解分式方程的途径。

　　情感态度与价值观

　　1．养成自觉反思求解过程和自觉检验的良好习惯，培养严谨的治学态度。

　　2．运用“转化〞的思想，将分式方程转化为整式方程，从而获得一种成就感和学习数学的自信心。

　　教学重点和难点

　　教学重点

　　1．解分式方程的一般步骤，熟练掌握分式方程的解法。

　　2．明确解分式方程验根的必要性。

　　教学难点

　　明确解分式方程验根的必要性。

　　教学方法

　　启发引导、小组讨论、合作探究

　　教学媒体

　　课件

　　教学过程设计

　　〔一〕复习及引入新课

　　1．什么叫方程？什么叫方程的解？

　　答：含有未知数的等式叫做方程。

　　使方程两边相等的未知数的值，叫做方程的解。

　　2．在x=0，x=1，x=－1中，哪个是方程的解，为什么？

　　解：〔1〕当x=0时，左边=，右边=0，∴左边=右边，∴x=0是方程的解。

　　〔2〕当x=1时，左式无意义，所以x=1不是方程的解。

　　〔3〕当x=－1时，左式≠右边，所以x=－1不是方程的解。

　　3．回到本章引言中的问题：

　　一艘轮船在静水中的最大航速为20千米/时，它沿江以最大航速顺流航行100千米所用时间，与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等。江水的流速为多少？

　　设：江水的流速为千米/时，则：轮船顺流航行速度为千米/时，逆流航行速度为千米/时，顺流航行100千米所用的时间为小时，逆流航行60千米所用的时间为小时。

　　经过分析得到问题的量为两个分式：、，根据量间的关系列出方程：

　　思考

　　这个方程和我们以前所见过的方程有什么不同？

　　引出分式方程的概念。

　　〔二〕讲授新课，探索分式方程的解法

　　活动1

　　思考

　　1．分式方程的主要特点是什么？

　　2．通过分析分式方程的特点，找出与其他方程不同之处。

　　3．结合方程的特点，探索如何解分式方程？

　　教师提出问题，学生思考、讨论；师生共同得出结论：

　　分式方程的特征：分母中含有未知数。

　　这是与前面我们学习的整式方程的.最大区别点。〔整式方程的未知数不在分母中。〕

　　在探讨分式方程的解法时，可联系一元一次方程的解法。

　　如：解方程

　　解：去分母，方程两边同乘以分母的最小公倍数6，得：

　　去括号，得：

　　移项，得：

　　合并同类项，得：

　　系数化为1，得：

　　由上述解法，我们自然会想到通过“去分母〞实现把分式方程转化为整式方程。

　　“去分母〞是将分式方程转化成整式方程的关键步骤。

　　解方程：

　　去分母，方程两边同时乘以各分母的最简公分母得

　　解得：

　　检验：将代入原方程中，左边右边，因此是分式方程的解。

　　由此可知：江水的流速为5千米/时。

　　归纳：

　　解分式方程的根本思路是将分式方程化为整式方程，具体做法是“去分母〞，即方程两边同乘最简公分母，这也是解分式方程的一般思路和做法。

　　活动解方程：

　　教师出例如题，学生动手操作，思考，然后分组交流。

　　教师进行评价，提出质疑，然后进行说明强调。

　　解：

　　去分母，在方程两边同时乘以最简公分母，得整式方程

　　解得：。

　　师

　　是原方程的解吗？

　　生将代入原分式方程检验，发现这时分母和的值都为0，相应的

　　分式无意义，所以……。

　　师对，因此虽是整式方程的解，但不是原方程的

　　解，实际上，这个分式方程无解。

　　活动3

　　思考：

　　在上面两个分式方程中，为什么①去分母后所得整式方程的解就是①的解，而②去分母后所得整式方程的解却不是②的解呢？

　　学生思考，分母讨论，发表自己的见解。

　　通过讨论总结出问题的答案。

　　活动4

　　问题1：在把分式方程转化为整式方程的过程中会产生增根：那么是不是就不要这样的

　　解呢？采用什么样的方法补救？

　　问题2：怎么检验较简单呢？还需要将整式方程的解分别代入原方程的左、右两边吗？

　　教师提出问题，学生讨论、答复。

　　问题1的解答：

　　还是要把分式方程转化为整式方程来解，解出整式方程的解后可用检验的方法看是不是原方程的解。

　　问题2的解答。

　　不用，产生增根的原因是这个根使去分母时的最简公分母为零造成的。因此最简单的检验方法是：把整式方程的解代入最简公分母。假设使最简公分母为零，则是原方程的增根，假设使最简公分母不为零，则是原方程的解。是增根，必舍去。一般地，说明原方程无解。

　　归纳：

　　一般地，解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中分母为0。因此应如下检验：

　　将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解，是增根，舍去。

　　活动5

　　例1解方程：

　　例2解方程：

　　教师出例如题，学生动手操作

　　教师强调：去分母时，方程两边的每一项都要乘同一整式，不要漏乘某项。

　　归纳：

　　解分式方程的一般步骤如下：

　　〔三〕练习

　　练习：教科书第35页练习

　　〔四〕小结

　　学习了哪些知识？解分式方程的一般步骤是什么？

　　强调解分式方程的三个步骤：〔一去分母；二解整式方程；三检验〕缺一不可。

　　其次使学生明白、体验“转化〞思想

分式方程教案5

　　学习目标：

　　(一)学习知识点

　　1、用分式方程的数学模型反映现实情境中的实际问题.

　　2、用分式方程来解决现实情境中的问题.

　　3、经历建立分式方程模型解决实际问题的过程，体会数学模型的应用价值，从而提高学习数学的兴趣.

　　学习重点：

　　1.审明题意，寻找等量关系，将实际问题转化成分式方程的数学模型.

　　2.根据实际意义检验解的合理性.

　　学习难点：

　　寻求实际问题中的等量关系，寻求不同的解决问题的方法.

　　学习过程：

　　Ⅰ.提出问题，引入新课

　　前两节课，我们认识了分式方程这样的数学模型，并且学会了解分式方程.

　　接下来，我们就用分式方程解决生活中实际问题.

　　例1：某单位将沿街的一部分房屋出租.每间房屋的租金第二年比第一年多500元，所有房屋出租的租金第一年为9.6万元，第二年为10.2万元.

　　(1)你能找出这一情境的等量关系吗?

　　(2)根据这一情境，你能提出哪些问题?

　　(3)这两年每间房屋的租金各是多少?

　　解法一：设每年各有x间房屋出租，那么第一年每间房屋的租金为______元，第二年每间房屋的租金为__________元，根据题意得方程，

　　解法二：设第一年每间房屋的'租金为x元，第二年每间房屋的租金为_______元.第一年租出的房间为__________间，第二年租出的房间为__________间，根据题意得方程，

　　例2：小芳带了15元钱去商店买笔记本.如果买一种软皮本，正好需付15元钱.但售货员建议她买一种质量好的硬皮本，这种本子的价格比软皮本高出一半，因此她只能少买一本笔记本.这种软皮本和硬皮本的价格各是多少?

　　解：设软皮本的价格为x元，则硬皮本的价格为________元，那么15元钱可买软皮本_________本，硬皮本___________本.根据题意得方程，

　　图3-4

　　活动与探究：

　　1、如图，小明家、王老师家、学校在同一条路上.小明家到王老师家路程为3km，王老师家到学校的路程为0.5km,由于小明父母战斗在抗“非典”第一线，为了使他能按时到校，王老师每天骑自行车接小明上学.已知王老师骑自行车的速度是步行速度的3倍，每天比平时步行上班多用了20分钟，问王老师的步行速度及骑自行车的速度各是多少?(2003年吉林省中考题)

　　2、从甲地到乙地有两条公路：一条全长600千米的普通公路，另一条是全长480千米的高速公路。某客车在高速公路上行驶的速度比在普通公路上快45千米/时，由高速公路从甲地到乙地所需时间是由普通公路从甲地到乙地所需时间的一半。求客车在高速公路上行驶的速度。

　　3、轮船顺水航行40千米所用的时间与逆水航行30千米所用的时间相同，若水流的速度为3千米/时求轮船在静水中的速度?

　　积累与总结：

　　1、列方程解决实际情境中的具体问题，是数学实用性最直接的体现，而解决这一问题是如何将实际问题建立方程这样的数学模型，关键则在于审清题意，找出题中的等量关系，找到它就为列方程指明了方向.

　　2、列分式方程解应用题的一般步骤：(1)审清题意，找出等量关系;(2)设出__________;(3)列出_________;(4)解分式方程;(5)检验，既要验证是否是原方程的的根，又要验证是否符合题意;(6)写出答案。

分式方程教案6

　　【知识拓展】

　　分母里含有未知数的方程叫做分式方程．解分式方程组的基本思想是：化为整式方程．通常有两种做法：一是去分母；二是换元．

　　解分式方程一定要验根．

　　解分式方程组时整体代换的思想体现得很充分．常见的思路有：取倒数法方程迭加法，换元法等．

　　列分式方程解应用题，关键是找到相等关系列出方程．如果方程中含有字母表示的已知数，需根据题竞变换条件，实现转化．设未知数而不求解是常见的技巧之一．

　　例题求解

　　一、分式方程(组)的解法举例

　　1．拆项重组解分式方程

　　【例1】解方程．

　　解析直接去分母太繁琐，左右两边分别通分仍有很复杂的分子．考虑将每一项分拆：如，这样可降低计算难度．经检验为原方程的解．

　　注本题中用到两个技巧：一是将分式拆成整式加另一个分式；二是交换了项，避免通分后分子出现x．这样大大降低了运算量．本讲趣题引路中的问题也属于这种思路．

　　2．用换元法解分式方程

　　【例2】解方程．

　　解析若考虑去分母，运算量过大；分拆也不行，但各分母都是二次三项式，试一试换元法．

　　解令x2+ 2x―8=y，原方程可化为

　　解这个关于y的分式方程得y=9x或y=－5x．

　　故当y=9x时，x2+2x―8=9x，解得x1=8，x2=―1．

　　当y=－5x时，x2+2x―8=－5x，解得x3=―8，x4=1．

　　经检验，上述四解均为原方程的解．

　　注当分式方程的结构较复杂且有相同或相近部分时，可通过换元将之简化．

　　3．形如结构的分式方程的解法

　　形如的分式方程的解是：，．

　　【例3】解方程．

　　解析方程左边两项的乘积为1，可考虑化为上述类型的问题求解．

　　，均为原方程的解．

　　4．运用整体代换解分式方程组

　　【例4】解方程组．

　　解析若用常规思路设法消元，难度极大．注意到每一方程左边分子均为单项式，为什么不试一试倒过来考虑呢?

　　解显然x=y=z=0是该方程组的一组解．

　　若x、y、z均不为0，取倒数相加得x=y=z=

　　故原方程组的解为x=y=z=0和x=y=z= ．

　　二、含字母系数分式方程根的讨论

　　【例5】解关于x的方程．

　　解析去分母化简为含字母系数的一次方程，须分类讨论．

　　讨论：（1）当a2－1≠0时

　　①当a≠0时，原方程解为x= ；

　　②当a=0时，此时是增根．

　　(2) 当a2－1＝0时即a= ，此时方程的解为x≠ 的任意数；

　　综上，当a≠±1且a≠0时，原方程解为x= ；当a=0时，原方程无解，；当a= 时，原方程的解为x≠ 的任意数．

　　三、列分式方程解应用题

　　【例6】某商场在一楼和二楼之间安装了一自动扶梯，以均匀的速度向上行驶，一男孩和一女孩同时从自动扶梯上走到二楼(扶梯行驶，两人也走梯)．如果两人上梯的速度都是匀速的，每次只跨1级，且男孩每分钟走动的级数是女孩的'2倍．已知男孩走了27级到达扶梯顶部，而女孩走了18级到达顶部．

　　（1）扶梯露在外面的部分有多少级?

　　(2)现扶梯近旁有一从二楼下到一楼的楼梯道，台阶的级数与自动扶梯的级数相等，两个孩子各自到扶梯顶部后按原速度再下楼梯，到楼梯底部再乘自动扶梯上楼(不考虑扶梯与楼梯间的距离)．求男孩第一次迫上女孩时走了多少级台阶?

　　解析题中有两个等量关系，男孩走27级的时间等于扶梯走了S－27级的时间；女孩走18级的时间等于扶梯走S―18级的时间．

　　解 (1)设女孩上梯速度为x级／分，自动扶梯的速度为y级／分，扶梯露在外面的部分有S级，则男孩上梯的速度为2x级／分，且有

　　解得 S=54．

　　所以扶梯露在外面的部分有54级．

　　(2)设男孩第一次追上女孩时走过自动扶梯rn遍，走过楼梯n遍，则女孩走过自动扶梯(m―1)遍、走过楼梯(n―1)遍．

　　由于两人所走的时间相等，所以有．

　　由(1)中可求得y=2x,代人上面方程化简得6n+m=16．

　　无论男孩第一次追上女孩是在自动扶梯还是在下楼时，m、n中都一定有一个是正整数，且0≤m―n≤1．

　　试验知只有 m=3，n= 符合要求．

　　所以男孩第一次追上女孩时走的级数为3×27+ ×54=198(级)．

　　注本题求解时设的未知数x、y，只设不求，这种方法在解复杂的应用题时常用来帮助分析数量关系，便于解题．

　　【例7】 (江苏省初中数学竞赛C卷)编号为1到25的25个弹珠被分放在两个篮子A和B中．15号弹珠在篮子A中，把这个弹珠从篮子A移至篮子B中，这时篮子A中的弹珠号码数的平均数等于原平均数加，篮子B中弹珠号码数的平均数也等于原平均数加．问原来在篮子A中有多少个弹珠?

　　解析本题涉及A中原有弹珠，A、B中号码数的平均数，故引入三个未知数．

　　解设原来篮子A中有弹珠x个，则篮子B中有弹珠(25－x)个．又记原来A中弹珠号码数的平均数为a，B中弹珠号码数的平均数为b．则由题意得

　　解得x=9，即原来篮子A中有9个弹珠．

　　学力训练

　　（A级）

　　1．解分式方程．

　　2．若关于x的方程有增根x=1，求k的值．

　　3．解分式方程．

　　4．解方程组．

　　5．丙、丁三管齐开，15分钟可注满全池；甲、丁两管齐开，20分钟注满全池．如果四管齐开，需要多少时间可以注满全池？

　　（B级）

　　1．关于x的方程有唯一的解，字母已知数应具备的条件是( )

　　A． a≠b B．c≠d C．c+d≠0 D．bc+ad≠0

　　2．某队伍长6km，以每小时5 km的速度行进，通信员骑马从队头到队尾送信，到队尾后退返回队头，共用了0.5 h，则通信员骑马的速度为每小时 km．

　　3．某项工作，甲单独作完成的天数为乙、丙合作完成天数的m倍，乙单独作完成的天数为甲、丙合作完成天数的n倍，丙单独作完成的天数为甲、乙合作完成天数的k倍，则 = ．

　　4．m为何值时，关于x、y的方程组：的解，满足，？

　　5．(天津市中考题)某工程由甲、乙两队合做6天完成，厂家需付甲、乙两队共8700元；乙、丙两队合做10天完成，厂家需付乙、丙两队共9500元；甲、丙两队合做5天完成全部工程的，厂家需付甲、丙两队共5500元．

　　(1)求甲、乙、丙各队单独完成全部工程各需多少天?

　　(2)若工期要求不超过15天完成全部工程，问：由哪队单独完成此项工程花钱最少?请说明理由．

　　6．甲、乙二人两次同时在同一粮店购买粮食(假设两次购买的单价不同)，甲每次购买粮食100kg，乙每次购买粮食用去100元．设甲、乙两人第一次购买粮食的单价为x元／kg，第二次单价为y元／kg．

　　(1)用含x、y的代数式表示甲两次购买粮食共需付款元，乙两次共购买 kg粮食．若甲两次购买粮食的平均单价为每千克Ql元，乙两次购粮的平均单价为每千克Q2元则Q1= ；Q2= ．

分式方程教案7

　　一，内容综述：

　　1、解分式方程的基本思想

　　在学习简单的分式方程的解法时，是将分式方程化为一元一次方程，复杂的（可化为一元二次方程）分式方程的基本思想也一样，就是设法将分式方程"转化"为整式方程。即

　　分式方程整式方程

　　2、解分式方程的基本方法

　　（1）去分母法

　　去分母法是解分式方程的一般方法，在方程两边同时乘以各分式的最简公分母，使分式方程转化为整式方程。但要注意，可能会产生增根。所以，必须验根。

　　产生增根的原因：

　　当最简公分母等于0时，这种变形不符合方程的同解原理（方程的两边都乘以或除以同一个不等于零的数，所得方程与原方程同解），这时得到的.整式方程的解不一定是原方程的解。

　　检验根的方法：

　　将整式方程得到的解代入原方程进行检验，看方程左右两边是否相等。

　　为了简便，可把解得的根直接代入最简公分母中，如果不使公分母等于0，就是原方程的根；如果使公分母等于0，就是原方程的增根。必须舍去。

　　注意：增根是所得整式方程的根，但不是原方程的根，增根使原方程的公

　　分母为0。

　　用去分母法解分式方程的一般步骤：

　　（i）去分母，将分式方程转化为整式方程；

　　（ii）解所得的整式方程；

　　（iii）验根做答

　　（2）换元法

　　为了解决某些难度较大的代数问题，可通过添设辅助元素（或者叫辅助未知数）来解决。辅助元素的添设是使原来的未知量替换成新的未知量，从而把问题化繁为简，化难为易，使未知量向已知量转化，这种思维方法就是换元法。换元法是解分式方程的一种常用技巧，利用它可以简化求解过程。

　　用换元法解分式方程的一般步骤：

　　（i）设辅助未知数，并用含辅助未知数的代数式去表示方程中另外的代数式；

　　（ii）解所得到的关于辅助未知数的新方程，求出辅助未知数的值；

　　（iii）把辅助未知数的值代回原设中，求出原未知数的值；

　　（iv）检验做答。

　　注意：

　　（1）换元法不是解分式方程的一般方法，它是解一些特殊的分式方程的特殊方法。它的基本思想是用换元法把原方程化简，把解一个比较复杂的方程转化为解两个比较简单的方程。

　　（2）分式方程解法的选择顺序是先特殊后一般，即先考虑能否用换元法解，不能用换元法解的，再用去分母法。

　　（3）无论用什么方法解分式方程，验根都是必不可少的重要步骤。

分式方程教案8

　　学习目标

　　1、进一步熟悉分式方程的解法；

　　2、会列分式方程解决实际问题。

　　学习重点

　　实际生活中相关工程问题类的分式方程应用题的分析应用.

　　学习难点

　　将实际问题中的等量关系用分式方程来表示并且求得结果.

　　学习过程

　　一、知识链接：

　　1、解方程

　　（1）（2）

　　2、八年级学生去距学校10千米的博物馆参观，一部分同学骑自行车先走，过了20分钟后，其余同学乘汽车出发，结果他们同时到达。已知汽车的速度是骑车同学速度的2倍，求骑车同学的速度。

　　（1）此题中所包含的相等关系是：

　　①____________________________________________________;

　　②_____________________________________________________

　　（2）若设骑车同学的速度为x千米/时，则汽车所用的时间为________________小时，骑车同学所用的时间为______________________小时。

　　（3）列出方程，并解答.

　　二、探究新知

　　例1两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工一个月完成总工程的，这时增加了乙队，两队又共同工作了半个月，总工程全部完成，哪个队的施工速度快？

　　练习：甲，乙做某种机器零件，已知甲每小时比乙多做6个，甲做90个所用的时间与乙做60个所用的时间相等。求甲，乙每小时各做多少个？

　　例2某次列车平均提速 vkm/h.用相同的时间，列车提速前行驶skm，提速后比提速前多行驶50km，提速前列车的平均速度为多少？

　　练习：甲、乙两人分别从距目的地6km和10km的两地同时出发，甲、乙的速度比是3：4，结果甲比乙提前20min到达目的地.求甲、乙的速度。

　　三、巩固练习：

　　1、某化肥厂原计划每天生产化肥x吨，由于采取了新技术，每天多生产化肥3吨，实际生产180吨与原计划生产120吨的时间相等，那么适合x的方程是（）.

　　2、部分学生自行组织春游，预计费用120元，后来又有2名学生参加，总费用不变，这样每人可少交3元，若设原来这部分学生的人数是x人，则可列方程为.

　　3、某市为进一步缓解交通拥堵现象，决定修建一条从市中心到飞机场的`轻轨铁路．实际施工时，每月的工效比原计划提高了20%，结果提前5个月完成这一工程．求原计划完成这一工程的时间是多少月？

　　4、我市某校为了创建书香校园，去年购进一批图书，经了解，科普书的单价比文学书的单价多4元，用12000元购进的科普书与用8000元购进的文学书本数相等，今年文学书和科普书的单价和去年相比保持不变，该校打算用10000元再购进一批文学书和科普书，问购进文学书550本后至多还能购进多少本科普书？

　　5、某工厂加工某种产品，机器每小时加工产品的数量比手工每小时加工产品的数量的2倍多9件，若加工1800件这样的产品，机器加工所用的时间是手工加工所用时间的倍，求手工每小时加工产品的数量.

　　四、课后反思：

分式方程教案9

　　一、教学内容分析：

　　本节“分式方程”是人教版八年级下册第16章第3节的内容，是继一元一次方程，二元一次方程组之后，初中阶段所讲授的又能一种方程的解法。本节课是在继分式的内容及分式的四则混合运算之后所讲述的一个内容，其实际上就是分式与方程的综合。因此本节课可以看作是一个综合课，同时分式方程的解法也是初中阶段的一个重点内容，要求学生必须掌握。

　　二、学情分析：

　　在学习本章之前，学生已经分两次学习过整式方程(一元一次方程、二元一次方程组)，他们对于整式方程特别是一元一次方程的解法及其基本思路(使方程逐步化为x=a的形式)已经比较熟悉，而分式方程的未知数在分母中，它的解法比以前学过的方程复杂，需通过转化思想，化分式方程为整式方程。

　　三、教学目标：

　　1、明确什么是分式方程?会区分整式方程与分式方程。

　　2、会解可化为一元一次方程的分式方程。

　　3、知道分式方程产生增根的原因，并学会如何验根。

　　四、教学重点：

　　分式方程的解法。

　　教学难点：理解分式方程可能产生增根的原因。

　　五、教学流程

　　1、忆一忆

　　(1)什么叫方程?什么叫方程的解?

　　(2)什么叫分式?

　　(3)结合具体例子说出解一元一次方程的.步骤。

　　设计意图：

　　让学生由旧知识的回忆自然引出新知识便于学生理解接受。

　　2x-(x-1)/3=6 3x/4+(2x+1)/3=0

　　2、猜一猜

　　板书课题“分式方程”，让学生猜一猜其概念，结合分式和方程的特点学生易得出：分母中含有未知数的方程叫分式方程。

　　设计意图：

　　采用这种形式引入今天的话题，让学生觉得不是在上数学，而象是在拉家常，让学生没有负担，另外，学生在前面的回忆的基础上很容易猜出来分式方程的概念。这样使学生感受到数学的简单，从而树立学好数学的信心。

　　3、辨一辨

　　判断下列方程是不是分式方程，并说出为什么?

　　1/(x-2)=3/x x(x-1)/x=-1 (3-x)/=x/2

　　2x+(x-1)/5=10 3/x=2/(x-3) (2x+1)/x+3x=1

　　指出：

　　分式方程与整式方程的区别(分母中含不含未知数)

　　设计意图：

　　学生说出来了分式方程的概念还远远不够，通过这道题使学生更进一步的巩固分式方程的概念。 (x-1)/x=-1这个方程可能学生会有争议，让学生说出自己的意见后，老师可总结，在判断方是否为分式方程时，不能化简，以形式为准。

　　4、想一想

　　提出该如何解方程呢?让学生讨论后得出：

　　通过去分母，方程两边同乘以各分母的最简公分母，回忆最简公分母的定义。

　　设计意图：

　　让学生自己去想该如何解，然后老师加以指导，这样会使学生感觉到自己真正是课堂的主人，从而全身心地投入学习。

　　5、试一试

　　(1)80/(x+5) (2)1/(x-5)=10/x.x-25

　　方程两边同乘以x(x+5)得：方程两边同乘以(x+5)(x-5)得：

　　80x=60(x+5) x+5=10

　　80x=60x+300 x=5

　　20x=300

　　x=15

　　提醒学生检验，对比两个方程发现问题。

　　设计意图：

　　通过提醒学生检验，让学生自己发现问题。从而自然引出话题。

　　6、议一议

　　分式方程为什么会产生增根?(两边都乘以了一个零因式，但这个根是整式方程的解)所以分式方程的检验代入最简公分母即可，提出，分式方程能不检验吗?通过讨论使学生得出分式方程必须检验，因为分式方程的检验是为了看是不是增根，而不是检验对错，所以必须检验。

　　7、说一说

　　老师帮忙总结出解分式方程的一般步骤：

　　1、程两边都乘最简公分母，约去分母，化为整式方程。

　　2、解这个整式方程。

　　3、把整式方程的根代入最简公分母，看它的值是否为零，使最简公分母为零的值是原方程的增根，必须舍去。

　　可简单记作：

　　一化二解三检验。

　　设计意图：

　　让学生对所学知识上升到一个理论高度。

　　8、做一做

　　解方程：

　　(1)2/(x-3)=3/x (2)x/(x-1)-1=3/(x-1)(x+2)

　　体验解分式方程的完整过程。

分式方程教案10

　　总体说明：本节共三个课时,它分为分式方程的认知,分式方程的解答,以及分式方程在实际问题中的应用。彼此之间由浅入深。是“实际问题——&sh;&sh;分式方程建模&sh;&sh;&sh;——求解——解释解的合理性”过程。本章在前面几节陆续介绍了分式，分式的乘除，分式的加减，为本节解分式方程打下了扎实的基础。同时应注意对学生进行过程性评价，要延迟评价学生运算的熟练程度，允许学生经过一定时间达到《标准》要求的目标，把评价重点放在对算理的理解上。

　　一、学生知识状况分析

　　学生的知识技能基础：学生在小学以及七年级学过解应用题，以及在本章第三节所讲述的分式加减时所引入的问题的提出及问题的解答。对实际问题进行建模有初步地了解，具备分析问题，处理问题的能力。

　　学生活动经验基础：在相关知识的学习过程中，学生已经经历了一些问题建模活动，解决了一些简单的现实问题，感受到找出问题等量关系的作用。获得了解决实际问题所必须的一些数学活动经验基础。同时在以前的数学学习中学生已经经历了很多合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力。

　　二、教学任务分析

　　教学时要有意识地进一步提高学生的阅读理解能力，鼓励学生从多角度思考问题，解释所获得结果的合理性。对于常用的数量关系，虽然学生以前大都接触过，但在本节的教学中仍要注意复习、总结，并抓住用两个已知量表示第三个量的表达式，引导学生举一反三，进一步提高分析问题与解决问题的能力。为此，本课时的教学目标是：

　　知识与技能：

　　（1）通过对实际问题的分析，感受分式方程刻画现实世界的有效模型的意义。

　　（2）通过观察，归纳分式方程的概念。

　　（3）体会到分式方程作为实际问题的'模型，能够根据实际问题建立分式方程的数学模型，并能归纳出分式方程的描述性定义。

　　过程与方法：采用的是尝试——归纳相结合的方法，根据开始提出的多个实际问题。教师鼓励学生进行尝试，利用具体情境中的等量关系列出分式方程，归纳出分式方程的定义。

　　情感与态度：在建立分式方程的数学模型的过程中培养能力和克服困难的勇气，并从中获得成就感，提高解决问题的能力。

　　三、教学过程分析

　　本节课设计了6教学环节：小麦实验田问题——高速公路问题——电脑网络培训问题——捐款问题——管理问题——课时小节。

　　第一环节小麦实验田问题

　　活动内容：有两块面积相同的小麦试验田，第一块使用原品种，第二块使用新品种，分别收获小麦9000g和15000g。已知第一块试验田每公顷的产量比第二块少3000g，分别求出这两块试验田每公顷的产量。你能找出这一问题中的所有等量关系吗？

　　如果设第一块实验田每公顷的产量为，那么第二块试验田每公顷的产量是___________g.

　　根据题意，可得方程：

　　_______________________________________________

　　活动目的：为了让学生经历从实际问题抽象、概括分式方程这一“数学化”的过程，体会分式方程的模型在解决实际生活问题中作用，设置了这么一个例题，关键是引导学生努力寻找问题中的所有等量关系，发展学生分析问题、解决问题的能力。

　　教学效果：在第一问中，同学们七嘴八舌，得到了许多等量关系。1、第一块实验田的

　　面积=第二块实验田的面积。2、每公顷的产量。3、第一块实验田每公顷的产量第二块试验田每公顷的产量。感觉到每人都能想一点，但都不全。第三问得到也有多种方案。例1、，2、这时教师就应适时引导，，每步的实际意义是什么？这样帮学生排除了第二种形式。

　　第二环节高速公路问题

　　活动内容：从甲地到乙地有两条长路：一条是全长600 的普通公路，另一条是全长480 的高速公路。某客车在高速公路上行驶的平均速度比在普通公路上快45 ，由高速公路从甲地到乙地所需的时间是由普通公路从甲地到乙地所需时间的一半，求该客车由高速公路从甲地到乙地所需的时间。

　　这一问题中有哪些等量关系？

　　如果设客车由高速公路从甲地到乙地所需的时间为，那么它由普通公路从甲地到乙地所需的时间为 _________________ 。根据题意，可得方程_______________________________________________

　　活动目的：再次让学生经历从实际问题抽象、概括分式方程这一“数学化”的过程，体会分式方程的模型作用，设置了这么一个例题，关键是引导学生努力寻找问题中的所有等量关系，发展学生分析问题、解决问题的能力。

　　教学效果：这次讨论的声音比第一次要少些，可能感觉比上一题容易。找出的等量关系有（1）600=客车在普通公路上行驶的平均速度客车由普通公路从甲地到乙地的时间。

　　（2）480 =客车在高速公路上行驶的平均速度客车由高速公路从甲地到乙地的时间。

　　（3）客车在高速公路上行驶的平均速度减去客车在普通公路上行驶的平均速度

　　（4）由高速公路从甲地到乙地的时间由普通公路从甲地到乙地的时间。

　　同样注意引导学生每一步的实际意义。

　　第三环节电脑网络培训问题

　　活动内容：王军同学准备在课外活动时间组织部分同学参加电脑网络培训，按原定的人数估计共需费用300元。后因人数增加到原定人数的2倍，费用享受了优惠，一共只需要480元，参加活动的每个同学平均分摊的费用比原计划少4元，原定的人数是多少？这一问题中有哪些等量关系？

　　如果设原定是人，那么每人平均分摊______________元。

　　人数增加到原定人数的2倍后，每人平均分摊_________________元。

　　根据题意，可得方程_______________________________________________-.

　　活动目的：由浅入深，出了一道比上题难度大一点的问题。还是为了训练学生找出问题中的所有等量关系，发展学生分析问题、解决问题的能力。

　　教学效果：这次学生讨论的声音又大了点，找出了如下的等量关系

　　（1）实际参加活动的人数=原定人数。

　　（2）原计划每个同学平均分摊的费用=实际每个同学平均分摊的费用+4元。

　　根据题意：

　　第四环节捐款问题这个题目不要求学生讨论。让学生独立完成。

　　活动内容：为了帮助遭受自然灾害的地区重建家园。某学校号召同学们自愿捐款。已知第一次捐款总额为4800元，第二次捐款总额为5000元，第二次捐款人数比第一次多20人，而且两次人均捐款恰好相等。如果设第一次捐款人数为人，那么满足怎样的方程？

　　活动目的：这次让学生独立思考，不再借助别人的力量。根据前面几题的练习，看同学们对找等量关系到底掌握了多少。特别关注那些后进生。以便及时调整教学进度。

　　教学效果：

　　这次不允许讨论，学生花的时间比上二题多些。当然有的学生还是反应很快，还有一部分学生则花了有5分钟的时间。在这个班，说明学生之间的差异还是很大的。

　　第五环节管理问题

　　活动内容：某商场有管理人员40人，销售人员80人，为了提高服务水平和销售量，商场决定从管理人员中抽调一部分人充实销售部分，使管理人员与销售人员的人数比为1：4，那么应抽调的管理人员数满足怎样的方程？

　　活动目的：这个例题还是采取独立思考的原则，主要是针对刚才教师发现上一题做慢，做错的同学。努力引导他们找到问题中的等量关系。

　　教学效果：再次提醒刚才做错的和做的很慢的同学。让他们找到等量关系。由于我的提醒和同学们的注意力高度集中，从检查的效果来看，比上一次大有进步。

　　第六环节课时小节

　　活动内容：对于一个现实问题找到它的等量关系建立分式方程分母中含有未知数的方程叫做分式方程同时注意每一步的实际意义。

　　活动目的：让学生感受到在实际问题中，一定要找到它的等量关系，最好是越多越好。根据等量关系来列方程，这个方程不是唯一的，今天的分式方程就是以前没有接触过的。同时培养学生有条理的思考及其语言表达能力。

　　教学效果：小节最好由同学们讨论，再派代表来叙述。而不是让老师说。教师只是顺势把学生的话进行一个归纳。关注学生从现实生活中发现并提出数学问题的能力，关注学生能否尝试用不同方法寻求问题中数量关系，并用分式方程表示，能否表达自己解决问题的过程。大家基本都知道核心是找到等量关系，从而找到它的方程。

　　布置作业：P87——随堂练习第一题P88——习题3.6——1，2，3

　　四、教学反思

　　1、教材只是为教师提供最基本的教学素材，教师完全可以根据学生的实际情况进行适当调整。这些问题的提出要根据本班学生的实际情况，学生能力强的，就要找一些难度大的。学生能力弱的，就要找一些难度小的。还可以因势利导的编一些与同学们生活息息相关的例子。当然，这些问题的提出都必须以现实生活为背景。不要出一些与实际生活不符的纯理论问题。

　　2、课堂上要把激发学生学习的积极性放在首位，多让学生说，帮助学生培养发展有条理的思考及其语言表达能力。同时要多注意困难学生的疑问。不要让一些思维活跃的学生的回答代替了其他同学的思考。使小组学习更有实效性。

　　3、列分式方程解决应用问题要比列一次方程（组）稍复杂一些。教学是要引导学生抓住寻找等量关系，恰当选设未知数、确定主要等量关系、用含未知数的分式或整式表示未知量等关键环节，细心分析问题中的数量关系。一定要在这方面多花时间，要让你“会”转化为学生“会”。只要学生脑子里有分析这种问题的“意识”这节课才有收获。

分式方程教案11

　　教案

　　【教学目标】

　　知识目标

　　1.理解分式方程的意义.

　　2.了解解分式方程的基本思路和解法.

　　3.理解解分式方程时可能无解的原因,并掌握分式方程的验根方法.

　　能力目标

　　经历“实际问题——分式方程——整式方程”的过程,发展学生分析问题、解决问题的能力,渗透数学的转化思想,培养学生的应用意识.

　　情感目标

　　在活动中培养学生乐于探究、合作学习的习惯,培养学生努力寻找解决问题的进取心,体会数学的应用价值.

　　【教学重难点】

　　重点:解分式方程的基本思路和解法.

　　难点:理解解分式方程时可能无解的原因.

　　【教学过程】

　　一、创设情境,导入新课

　　问题:一艘轮船在静水中的最大航速为30 km/h,它以最大航速沿江顺流航行90 km所用时间,与以最大航速逆流航行60 km所用时间相等,江水的流速为多少?

　　分析:设江水的流速为v km/h,则轮船顺流航行的速度为(30+v) km/h,逆流航行的速度为(30-v) km/h,顺流航行90 km所用的时间为小时,逆流航行60 km所用的时间为小时.可列方程=.

　　这个方程和我们以前所见过的方程不同,它的主要特点是:分母中含有未知数,这种方程就是我们今天要研究的'分式方程.

　　二、探究新知

　　1.教师提出下列问题让学生探究:

　　(1)方程=与以前所学的整式方程有何不同?

　　(2)什么叫分式方程?

　　(3)如何解分式方程=呢?怎样检验所求未知数的值是原方程的解?

　　(4)你能结合上述探究活动归纳出解分式方程的基本思路和做法吗?

　　(学生思考、讨论后在全班交流)

　　2.根据学生探究结果进行归纳:

　　(1)分式方程的定义(板书):

　　分母里含有未知数的方程叫分式方程.以前学过的方程都是整式方程

　　练习:判断下列各式哪个是分式方程.

　　(1)x+y=5; (2)=;

　　(3); (4)=0

　　在学生回答的基础上指出(1)、(2)是整式方程,(3)是分式,(4)是分式方程.

　　(2)解分式方程=的基本思路是:将分式方程化为整式方程.具体做法是:“去分母”,即方程两边同乘最简公分母.这也是解分式方程的一般思路和做法.

　　3.仿照上面解分式方程的做法,尝试解分式方程=,并检验所得的解,你发现了什么?与你的同伴交流.

　　4.思考:上面两个分式方程中,为什么=①去分母后所得整式方程的解就是①的解,而=②去分母后所得整式方程的解却不是②的解呢?学生分组讨论产生上述结果的原因,并互相交流.

　　5.归纳:

　　(1)增根:将分式方程变为整式方程时,方程两边同乘以一个含有未知数的整式,并约去分母,有可能产生不适合原方程的解(或根),这种根通常称为增根.

　　(2)解分式方程必须进行检验:将整式方程的解代入最简公分母,如果最简公分母的值不为0,则整式方程的解是原分式方程的解;否则,这个解不是原分式方程的解.

　　三、巩固练习

　　1.在下列方程中:

　　①=8+; ②=x;

　　③=; ④x-=0.

　　是分式方程的有( )

　　A.①和② B.②和③

　　C.③和④ D.④和①

　　2.解分式方程:(1)=;(2)=.

　　四、课堂小结

　　1.通过本节课的学习,你有哪些收获?

　　2.在本节课的学习过程中,你有什么体会?与同伴交流.

　　引导学生总结得出:

　　解分式方程的一般步骤:

　　(1)在方程的两边都乘以最简公分母,约去分母,化为整式方程.

　　(2)解这个整式方程.

　　(3)把整式方程的根代入最简公分母,看结果是不是零;使最简公分母为零的根不是原方程的解时,必须舍去.

　　五、布置作业

　　课本152页练习.

　　第2课时

　　【教学目标】

　　知识目标

　　会分析题意找出相等关系,并能列出分式方程解决实际问题.

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　　同步练习

　　1.在某市举行的大型商业演出活动中，对团体购买门票思想优惠，决定在原定票价的基础上每张降价80元，这样按原定票价需花6000元购买的门票张数，现在只花费了4800元，求每张门票的原定价格?

　　2.为丰富校园文化生活，某校举办了成语大赛.学校准备购买一批成语词典奖励获奖学生.购买时，商家给每本词典打了九折，用2880元钱购买的成语词典，打折后购买的数量比打折前多10本.求打折前每本笔记本的售价是多少元?

　　2.“六?一”儿童节前，某玩具商店根据市场调查，用2500元购进一批儿童玩具，上市后很快脱销，接着又用4500元购进第二批这种玩具，所购数量是第一批数量的1.5倍，但每套进价多了10元.

　　(1)求第一批玩具每套的进价是多少元?

　　(2)如果这两批玩具每套售价相同，且全部售完后总利润不低于25%，那么每套售价至少是多少元?

　　精选练习

　　列方程或方程组解应用题：

　　据林业专家分析，树叶在光合作用后产生的分泌物能够吸附空气中的一些悬浮颗粒物，具有滞尘净化空气的作用.已知一片银杏树叶一年的平均滞尘量比一片国槐树叶一年的平均滞尘量的2倍少4毫克，若一年滞尘1000毫克所需的银杏树叶的片数与一年滞尘550毫克所需的国槐树叶的片数相同，求一片国槐树叶一年的平均滞尘量.

分式方程教案12

　　一、教学目标

　　1.使学生掌握可化为一元二次方程的分式方程的解法，能用去分母的方法或换元的方法求此类方程的解，并会验根.

　　2.通过本节课的教学，向学生渗透转化的数学思想方法;

　　3.通过本节的教学，继续向学生渗透事物是相互联系及相互转化的辨证唯物主义观点.

　　二、重点难点疑点及解决办法

　　1.教学重点：可化为一元二次方程的分式方程的解法.

　　2.教学难点：解分式方程，学生不容易理解为什么必须进行检验.

　　3.教学疑点：学生容易忽视对分式方程的解进行检验通过对分式方程的解的剖析，进一步使学生认识解分式方程必须进行检验的重要性.

　　4.解决办法：(l)分式方程的解法顺序是：先特殊、后一般，即能用换元法的方程应尽量用换元法解.(2)无论用去分母法解，还是换元法解分式方程，都必须进行验根，验根是解分式方程必不可少的一个重要步骤.(3)方程的增根具备两个特点，①它是由分式方程所转化成的整式方程的根②它能使原分式方程的公分母为0.

　　三、教学步骤

　　(一)教学过程

　　1.复习提问

　　(1)什么叫做分式方程?解可化为一元一次方程的分式方程的方法与步骤是什么?

　　(2)解可化为一元一次方程的'分式方程为什么要检验?检验的方法是什么?

　　(3)解方程，并由此方程说明解方程过程中产生增根的原因.

　　通过(1)、(2)、(3)的准备，可直接点出本节的内容：可化为一元二次方程的分式方程的解法相同.

　　在教师点出本节内容的处理方法与以前所学的知识完全类同后，让全体学生对照前面复习过的分式方程的解，来进一步加深对类比法的理解，以便学生全面地参与到教学活动中去，全面提高教学质量.

　　在前面的基础上，为了加深学生对新知识的理解，教师与学生共同分析解决例题，以提高学生分析问题和解决问题的能力.

　　2.例题讲解

　　例1 解方程.

　　分析对于此方程的解法，不是教师讲如何如何解，而是让学生对已有知识的回忆，使用原来的方法，去通过试的手段来解决，在学生叙述过程中，发现问题并及时纠正.

　　解：两边都乘以，得

　　去括号，得

　　整理，得

　　解这个方程，得

　　检验：把代入，所以是原方程的根.

　　原方程的根是.

　　虽然，此种类型的方程在初二上学期已学习过，但由于相隔时间比较长，所以有一些学

　　生容易犯的类型错误应加以强调，如在第一步中.需强调方程两边同时乘以最简公分母.另

　　外，在把分式方程转化为整式方程后，所得的一元二次方程有两个相等的实数根，由于是解

　　分式方程，所以在下结论时，应强调取一即可，这一点，教师应给以强调.

　　例2 解方程

　　分析：解此方程的关键是如何将分式方程转化为整式方程，而转化为整式方程的关键是

　　正确地确定出方程中各分母的最简公分母，由于此方程中的分母并非均按的降幂排列，所

　　以将方程的分母作一转化，化为按字母终X进行降暴排列，并对可进行分解的分母进行分解，从而确定出最简公分母.

　　解：方程两边都乘以，约去分母，得

　　整理后，得

　　解这个方程，得

　　检验：把代入，它不等于0，所以是原方程的根，把

　　代入它等于0，所以是增根.

　　原方程的根是

　　师生共同解决例1、例2后，教师引导学生与已学过的知识进行比较.

　　例3 解方程.

　　分析：此题也可像前面例l、例2一样通过去分母解决，学生可以试，但由于转化后为一元四次方程，解起来难度很大，因此应寻求简便方式，通过引导学生仔细观察发现，方程中含有未知数的部分和互为倒数，由此可设，则可通过换元法来解题，通过求出

　　y后，再求原方程的未知数的值.

　　解：设，那么，于是原方程变形为

　　两边都乘以y，得

　　解得

　　当时，，去分母，得

　　解得;

　　当时，，去分母整理，得

　　检验：把分别代入原方程的分母，各分母均不等于0.

　　原方程的根是

　　此题在解题过程中，经过两次转化，所以在检验中，把所得的未知数的值代入原方程中的分母进行检验.

　　巩固练习：教材P49中1、2引导学笔答.

　　(二)总结、扩展

　　对于小结，教师应引导学生做出.

　　本节内容的小结应从所学习的知识内容、所学知识采用了什么数学思想及教学方法两方面进行.

　　本节我们通过类比的方法，在已有的解可化为一元一次方程的分式方程的基础上，学习了可化为一元二次方程的分式方程的解法，在具体方程的解法上，适用了转化与换元的基本数学思想与基本数学方法.

　　此小结的目的，使学生能利用类比的方法，使学过的知识系统化、网络化，形成认知结构，便于学生掌握.

　　四、布置作业

　　1.教材P50中A1、2、3.

　　2.教材P51中B1、2

　　五、板书设计

　　探究活动1

　　解方程：

　　分析：若去分母，则会变为高次方程，这样解起来，比较繁，注意到分母中都有，可用换元法降次

　　设，则原方程变为

　　或无解

　　经检验：是原方程的解

　　探究活动2

　　有农药一桶，倒出8升后，用水补满，然后又倒出4升，再用水补满，此时农药与水的比为18：7，求桶的容积.

　　解：设桶的容积为升，第一次用水补满后，浓度为，第二次倒出的农药数为4. 升，两次共倒出的农药总量(8+4 )占原来农药，故

　　整理，

　　(舍去)

　　答：桶的容积为40升.

分式方程教案13

　　一、教学目标

　　1。使学生掌握可化为一元二次方程的分式方程的解法，能用去分母的方法或换元的方法求此类方程的解，并会验根。

　　2。通过本节课的教学，向学生渗透“转化”的数学思想方法；

　　3。通过本节的教学，继续向学生渗透事物是相互联系及相互转化的辨证唯物主义观点。

　　二、重点、难点、疑点及解决办法

　　1。教学重点：可化为一元二次方程的分式方程的解法。

　　2。教学难点：解分式方程，学生不容易理解为什么必须进行检验。

　　3。教学疑点：学生容易忽视对分式方程的解进行检验通过对分式方程的解的剖析，进一步使学生认识解分式方程必须进行检验的重要性。

　　4。解决办法：（l）分式方程的解法顺序是：先特殊、后一般，即能用换元法的方程应尽量用换元法解。（2）无论用去分母法解，还是换元法解分式方程，都必须进行验根，验根是解分式方程必不可少的一个重要步骤。（3）方程的增根具备两个特点，①它是由分式方程所转化成的整式方程的根②它能使原分式方程的公分母为0。

　　三、教学步骤

　　（一）教学过程

　　1。复习提问

　　（1）什么叫做分式方程？解可化为一元一次方程的分式方程的方法与步骤是什么？

　　（2）解可化为一元一次方程的分式方程为什么要检验？检验的方法是什么？

　　（3）解方程，并由此方程说明解方程过程中产生增根的原因。

　　通过（1）、（2）、（3）的准备，可直接点出本节的内容：可化为一元二次方程的分式方程的解法相同。

　　在教师点出本节内容的处理方法与以前所学的知识完全类同后，让全体学生对照前面复习过的分式方程的解，来进一步加深对“类比”法的理解，以便学生全面地参与到教学活动中去，全面提高教学质量。

　　在前面的基础上，为了加深学生对新知识的理解，教师与学生共同分析解决例题，以提高学生分析问题和解决问题的能力。

　　2。例题讲解

　　例1解方程。

　　分析对于此方程的解法，不是教师讲如何如何解，而是让学生对已有知识的回忆，使用原来的方法，去通过试的手段来解决，在学生叙述过程中，发现问题并及时纠正。

　　解：两边都乘以，得

　　去括号，得

　　整理，得

　　解这个方程，得

　　检验：把代入，所以是原方程的根。

　　∴原方程的根是。

　　虽然，此种类型的方程在初二上学期已学习过，但由于相隔时间比较长，所以有一些学生容易犯的类型错误应加以强调，如在第一步中。需强调方程两边同时乘以最简公分母。另外，在把分式方程转化为整式方程后，所得的一元二次方程有两个相等的实数根，由于是解分式方程，所以在下结论时，应强调取一即可，这一点，教师应给以强调。

　　例2解方程

　　分析：解此方程的`关键是如何将分式方程转化为整式方程，而转化为整式方程的关键是

　　正确地确定出方程中各分母的最简公分母，由于此方程中的分母并非均按的降幂排列，所以将方程的分母作一转化，化为按字母终行降暴排列，并对可进行分解的分母进行分解，从而确定出最简公分母。

　　解：方程两边都乘以，约去分母，得

　　整理后，得

　　解这个方程，得

　　检验：把代入，它不等于0，所以是原方程的根，把

　　代入它等于0，所以是增根。

　　∴原方程的根是

　　师生共同解决例1、例2后，教师引导学生与已学过的知识进行比较。

　　例3解方程。

　　分析：此题也可像前面例l、例2一样通过去分母解决，学生可以试，但由于转化后为一元四次方程，解起来难度很大，因此应寻求简便方式，通过引导学生仔细观察发现，方程中含有未知数的部分和互为倒数，由此可设，则可通过换元法来解题，通过求出y后，再求原方程的未知数的值。

　　解：设，那么，于是原方程变形为

　　两边都乘以y，得

　　解得

　　当时，，去分母，得

　　解得；

　　当时，，去分母整理，得，

　　检验：把分别代入原方程的分母，各分母均不等于0。

　　∴原方程的根是，

　　此题在解题过程中，经过两次“转化”，所以在检验中，把所得的未知数的值代入原方程中的分母进行检验。

　　巩固练习：教材P49中1、2引导学笔答。

　　（二）总结、扩展

　　对于小结，教师应引导学生做出。

　　本节内容的小结应从所学习的知识内容、所学知识采用了什么数学思想及教学方法两方面进行。

　　本节我们通过类比的方法，在已有的解可化为一元一次方程的分式方程的基础上，学习了可化为一元二次方程的分式方程的解法，在具体方程的解法上，适用了“转化”与“换元”的基本数学思想与基本数学方法。

　　此小结的目的，使学生能利用“类比”的方法，使学过的知识系统化、网络化，形成认知结构，便于学生掌握。

　　四、布置作业

　　1。教材P50中A1、2、3。

　　2。教材P51中B1、2

　　五、板书设计

　　探究活动1

　　解方程：

　　分析：若去分母，则会变为高次方程，这样解起来，比较繁，注意到分母中都有，可用换元法降次

　　设，则原方程变为

　　∴

　　∴或无解

　　∴

　　经检验：是原方程的解

　　探究活动2

　　有农药一桶，倒出8升后，用水补满，然后又倒出4升，再用水补满，此时农药与水的比为18：7，求桶的容积。

　　解：设桶的容积为升，第一次用水补满后，浓度为，第二次倒出的农药数为4。升，两次共倒出的农药总量（8+4· ）占原来农药，故

　　整理，

　　（舍去）

　　答：桶的容积为40升。

分式方程教案14

　　教学目标：

　　1.学会根据定义判别分式方程与整式方程，了解分式方程增根产生的原因，掌握验根的方法。

　　2.掌握可化为一元一次方程或一元二次方程的分式方程的解法，会用去分母求方程的解。

　　教学重点：去分母法解可化为一元一次方程或一元二次方程的分式方程。验根的方法。

　　教学难点：验根的方法。分式方程增根产生的原因。

　　教学准备：小黑板。

　　教学过程：

　　复习引入：下列方程中哪些分母中含有未知数？哪些分母中不含有未知数？

　　（1）；（2）；（3）；（4）；

　　（5）；（6）；（7）；（8）。

　　讲授新课：

　　1.由上述归纳出分式方程的概念：只含有分式或整式，且分母里含有未知数的方程叫做分式方程。方程两边都是整式的方程叫做整式方程。

　　2.讨论分式方程的解法：

　　（1）复习解方程时，怎样去分母？

　　（2）讲解例1：解方程（按课文讲解）

　　归纳：解分式方程的'基本思想：

　　分式方程整式方程

　　（3）讲解例2：解方程（按课文讲解）

　　归纳：在去分母时，有时可能产生不适合原方程的根，我们把它叫做增根。因此解分式方程必须检验，常把求得得根代入原方程的最简公分母，看它的值是否为0，若为0，则为增根，必须舍去；若不为0，则为原方程的根。

　　想一想：产生增根的原因是什么？

　　巩固练习：P1451t，2t。

　　课堂小结：什么叫做分式方程？

　　解分式方程时，为什么要检验？怎样检验？

　　布置作业：见作业本。

分式方程教案15

　　教学目标

　　1。使学生能分析题目中的等量关系，掌握列分式方程解应用题的方法和步骤，提高学生分析问题和解决问题的能力；

　　2。通过列分式方程解应用题，渗透方程的思想方法。

　　教学重点和难点

　　重点：列分式方程解应用题。

　　难点：根据题意，找出等量关系，正确列出方程。

　　教学过程设计

　　一、复习

　　例解方程：

　　（1）2x+xx+3=1；（2）15x=2×15 x+12；

　　（3）2（1x+1x+3）+x－2x+3=1。

　　解（1）方程两边都乘以x（3+3），去分母，得

　　2（x+3）+x2=x2+3x，即2x－3x=－6

　　所以 x=6。

　　检验：当x=6时，x（x+3）=6（6+3）≠0，所以x=6是原分式方程的根。

　　（2）方程两边都乘以x（x+12），约去分母，得

　　15（x+12）=30x。

　　解这个整式方程，得

　　x=12。

　　检验：当x=12时，x（x+12）=12（12+12）≠0，所以x=12是原分式方程的根。

　　（3）整理，得

　　2x+2x+3+x－2x+3=1，即2x+2+x－2 x+3=1，

　　即 2x+xx+3=1。

　　方程两边都乘以x（x+3），去分母，得

　　2（x+3）+x2=x（x+3），

　　即 2x+6+x2=x2+3x，

　　亦即 2x－3x=－6。

　　解这个整式方程，得 x=6。

　　检验：当x=6时，x（x+3）=6（6+3）≠0，所以x=6是原分式方程的根。

　　二、新课

　　例1 一队学生去校外参观，他们出发30分钟时，学校要把一个紧急通知传给带队老师，派一名学生骑车从学校出发，按原路追赶队伍。若骑车的速度是队伍进行速度的2倍，这名学生追上队伍时离学校的距离是15千米，问这名学生从学校出发到追上队伍用了多少时间？

　　请同学根据题意，找出题目中的等量关系。

　　答：骑车行进路程=队伍行进路程=15（千米）；

　　骑车的速度=步行速度的2倍；

　　骑车所用的时间=步行的时间－0。5小时。

　　请同学依据上述等量关系列出方程。

　　答案：

　　方法1 设这名学生骑车追上队伍需x小时，依题意列方程为

　　15x=2×15 x+12。

　　方法2 设步行速度为x千米／时，骑车速度为2x千米／时，依题意列方程为

　　15x－15 2x=12。

　　解由方法1所列出的方程，已在复习中解出，下面解由方法2所列出的方程。

　　方程两边都乘以2x，去分母，得

　　30－15=x，

　　所以 x=15。

　　检验：当x=15时，2x=2×15≠0，所以x=15是原分式方程的根，并且符合题意。

　　所以骑车追上队伍所用的时间为15千米 30千米／时=12小时。

　　答：骑车追上队伍所用的时间为30分钟。

　　指出：在例1中我们运用了两个关系式，即时间=距离速度，速度=距离时间。

　　如果设速度为未知量，那么按时间找等量关系列方程；如果设时间为未知量，那么按

　　速度找等量关系列方程，所列出的方程都是分式方程。

　　例2 某工程需在规定日期内完成，若由甲队去做，恰好如期完成；若由乙队去做，要超过规定日期三天完成。现由甲、乙两队合做两天，剩下的工程由乙独做，恰好在规定日期完成，问规定日期是多少天？

　　分析；这是一个工程问题，在工程问题中有三个量，工作量设为s，工作所用时间设为t，工作效率设为m，三个量之间的关系是

　　s=mt，或t=sm，或m=st。

　　请同学根据题中的等量关系列出方程。

　　答案：

　　方法1 工程规定日期就是甲单独完成工程所需天数，设为x天，那么乙单独完成工程所需的天数就是（x+3）天，设工程总量为1，甲的工作效率就是x1，乙的工作效率是1x+3。依题意，列方程为

　　2（1x+1x3）+x2－xx+3=1。

　　指出：工作效率的意义是单位时间完成的工作量。

　　方法2 设规定日期为x天，乙与甲合作两天后，剩下的工程由乙单独做，恰好在规定日期完成，因此乙的工作时间就是x天，根据题意列方程

　　2x+xx+3=1。

　　方法3 根据等量关系，总工作量—甲的工作量=乙的工作量，设规定日期为x天，则可列方程

　　1－2x=2x+3+x－2x+3。

　　用方法1～方法3所列出的方程，我们已在新课之前解出，这里就不再解分式方程了。重点是找等量关系列方程。

　　三、课堂练习

　　1。甲加工180个零件所用的时间，乙可以加工240个零件，已知甲每小时比乙少加工5个零件，求两人每小时各加工的零件个数。

　　2。A，B两地相距135千米，有大，小两辆汽车从A地开往B地，大汽车比小汽车早出发5小时，小汽车比大汽车晚到30分钟。已知大、小汽车速度的比为2：5，求两辆汽车的速度。

　　答案：

　　1。甲每小时加工15个零件，乙每小时加工20个零件。

　　2。大，小汽车的速度分别为18千米／时和45千米／时。

　　四、小结

　　1。列分式方程解应用题与列一元一次方程解应用题的方法与步骤基本相同，不同点是，解分式方程必须要验根。一方面要看原方程是否有增根，另一方面还要看解出的根是否符合题意。原方程的增根和不符合题意的根都应舍去。

　　2。列分式方程解应用题，一般是求什么量，就设所求的量为未知数，这种设未知数的方法，叫做设直接未知数。但有时可根据题目特点不直接设题目所求的量为未知量，而是设另外的量为未知量，这种设未知数的方法叫做设间接未知数。在列分式方程解应用题时，设间接未知数，有时可使解答变得简捷。例如在课堂练习中的第2题，若题目的条件不变，把问题改为求大、小两辆汽车从A地到达B地各用的时间，如果设直接未知数，即设，小汽车从A地到B地需用时间为x小时，则大汽车从A地到B地需（x+5－12）小时，依题意，列方程

　　135 x+5－12：135x=2：5。

　　解这个分式方程，运算较繁琐。如果设间接未知数，即设速度为未知数，先求出大、小两辆汽车的速度，再分别求出它们从A地到B地的时间，运算就简便多了。

　　五、作业

　　1 填空：

　　（1）一件工作甲单独做要m小时完成，乙单独做要n小时完成，如果两人合做，完成这件工作的时间是______小时；

　　（2）某食堂有米m公斤，原计划每天用粮a公斤，现在每天节约用粮b公斤，则可以比原计划多用天数是______；

　　（3）把a千克的盐溶在b千克的水中，那么在m千克这种盐水中的含盐量为______千克。

　　2 列方程解应用题。

　　（1）某工人师傅先后两次加工零件各1500个，当第二次加工时，他革新了工具，改进了操作方法，结果比第一次少用了18个小时。已知他第二次加工效率是第一次的2。5倍，求他第二次加工时每小时加工多少零件？

　　（2）某人骑自行车比步行每小时多走8千米，如果他步行12千米所用时间与骑车行36千米所用的时间相等，求他步行40千米用多少小时？

　　（3）已知轮船在静水中每小时行20千米，如果此船在某江中顺流航行72千米所用的时间与逆流航行48千米所用的时间相同，那么此江水每小时的流速是多少千米？

　　（4）A，B两地相距135千米，两辆汽车从A地开往B地，大汽车比小汽车早出发5小时，小汽车比大汽车晚到30分钟。已知两车的速度之比是5：2，求两辆汽车各自的速度。

　　答案：

　　1 （1）mn m+n；（2）m a－b－ma；（3）ma a+b。

　　2 （1）第二次加工时，每小时加工125个零件。

　　（2）步行40千米所用的时间为40 4=10（时）。答步行40千米用了10小时。

　　（3）江水的流速为4千米／时。

　　课堂教学设计说明

　　1。教学设计中，对于例

　　1，引导学生依据题意，找到三个等量关系，并用两种不同的方法列出方程；对于例

　　2，引导学生依据题意，用三种不同的方法列出方程。这种安排，意在启发学生能善于从不同的角度、不同的方向思考问题，激励学生在解决问题中养成灵活的思维习惯。这就为在列分式方程解应用题教学中培养学生的发散思维提供了广阔的空间。

　　2。教学设计中体现了充分发挥例题的模式作用。

　　例1是行程问题，其中距离是已知量，求速度（或时间）；例2是工程问题，其中工作总量为已知量，求完成工作量的时间（或工作效率）。这些都是运用列分式方程求解的典型问题。教学中引导学生深入分析已知量与未知量和题目中的等量关系，以及列方程求解的思路，以促使学生加深对模式的主要特征的理解和识另？别，让学生弄清哪些类型的问题可借助于分式方程解答，求解的思路是什么。学生完成课堂练习和作业，则是识别问题类型，能把面对的问题和已掌握的模式在头脑中建立联系，探求解题思路。

　　3。通过列分式方程解应用题数学，渗透了方程的思想方法，从中使学生认识到方程的思想方法是数学中解决问题的一个锐利武器。方程的思想方法可以用“以假当真”和“弄假成真”两句话形容。如何通过设直接未知数或间接未知数的方法，假设所求的量为x，这时就把它作为一个实实在在的量。通过找等量关系列方程，此时是把已知量与假设的未知量平等看待，这就是“以假当真”。通过解方程求得问题的解，原先假设的未知量x就变成了确定的量，这就是“弄假成真”。

　　列分式方程解应用题

　　教学目标

　　1。使学生能分析题目中的等量关系，掌握列分式方程解应用题的方法和步骤，提高学生分析问题和解决问题的能力；

　　2。通过列分式方程解应用题，渗透方程的思想方法。

　　教学重点和难点

　　重点：列分式方程解应用题。

　　难点：根据题意，找出等量关系，正确列出方程。

　　教学过程设计

　　一、复习

　　例解方程：

　　（1）2x+xx+3=1；（2）15x=2×15 x+12；

　　（3）2（1x+1x+3）+x－2x+3=1。

　　解（1）方程两边都乘以x（3+3），去分母，得

　　2（x+3）+x2=x2+3x，即2x－3x=－6

　　所以 x=6。

　　检验：当x=6时，x（x+3）=6（6+3）≠0，所以x=6是原分式方程的.根。

　　（2）方程两边都乘以x（x+12），约去分母，得

　　15（x+12）=30x。

　　解这个整式方程，得

　　x=12。

　　检验：当x=12时，x（x+12）=12（12+12）≠0，所以x=12是原分式方程的根。

　　（3）整理，得

　　2x+2x+3+x－2x+3=1，即2x+2+x－2 x+3=1，

　　即 2x+xx+3=1。

　　方程两边都乘以x（x+3），去分母，得

　　2（x+3）+x2=x（x+3），

　　即 2x+6+x2=x2+3x，

　　亦即 2x－3x=－6。

　　解这个整式方程，得 x=6。

　　检验：当x=6时，x（x+3）=6（6+3）≠0，所以x=6是原分式方程的根。

　　二、新课

　　请同学根据题意，找出题目中的等量关系。

　　答：骑车行进路程=队伍行进路程=15（千米）；

　　骑车的速度=步行速度的2倍；

　　骑车所用的时间=步行的时间－0。5小时。

　　请同学依据上述等量关系列出方程。

　　答案：

　　方法1 设这名学生骑车追上队伍需x小时，依题意列方程为

　　15x=2×15 x+12。

　　方法2 设步行速度为x千米／时，骑车速度为2x千米／时，依题意列方程为

　　15x－15 2x=12。

　　解由方法1所列出的方程，已在复习中解出，下面解由方法2所列出的方程。

　　方程两边都乘以2x，去分母，得

　　30－15=x，

　　所以 x=15。

　　检验：当x=15时，2x=2×15≠0，所以x=15是原分式方程的根，并且符合题意。

　　所以骑车追上队伍所用的时间为15千米 30千米／时=12小时。

　　答：骑车追上队伍所用的时间为30分钟。

　　指出：在例1中我们运用了两个关系式，即时间=距离速度，速度=距离时间。

　　如果设速度为未知量，那么按时间找等量关系列方程；如果设时间为未知量，那么按

　　速度找等量关系列方程，所列出的方程都是分式方程。

　　分析；这是一个工程问题，在工程问题中有三个量，工作量设为s，工作所用时间设为t，工作效率设为m，三个量之间的关系是

　　s=mt，或t=sm，或m=st。

　　请同学根据题中的等量关系列出方程。

　　答案：

　　2（1x+1x3）+x2－xx+3=1。

　　指出：工作效率的意义是单位时间完成的工作量。

　　方法2 设规定日期为x天，乙与甲合作两天后，剩下的工程由乙单独做，恰好在规定日期完成，因此乙的工作时间就是x天，根据题意列方程

　　2x+xx+3=1。

　　方法3 根据等量关系，总工作量—甲的工作量=乙的工作量，设规定日期为x天，则可列方程

　　1－2x=2x+3+x－2x+3。

　　用方法1～方法3所列出的方程，我们已在新课之前解出，这里就不再解分式方程了。重点是找等量关系列方程。

　　三、课堂练习

　　1。甲加工180个零件所用的时间，乙可以加工240个零件，已知甲每小时比乙少加工5个零件，求两人每小时各加工的零件个数。

　　答案：

　　1。甲每小时加工15个零件，乙每小时加工20个零件。

　　2。大，小汽车的速度分别为18千米／时和45千米／时。

　　四、小结

　　135 x+5－12：135x=2：5。

　　五、作业

　　1。填空：

　　（1）一件工作甲单独做要m小时完成，乙单独做要n小时完成，如果两人合做，完成这件工作的时间是______小时；

　　（2）某食堂有米m公斤，原计划每天用粮a公斤，现在每天节约用粮b公斤，则可以比原计划多用天数是______；

　　（3）把a千克的盐溶在b千克的水中，那么在m千克这种盐水中的含盐量为______千克。

　　2。列方程解应用题。

　　（2）某人骑自行车比步行每小时多走8千米，如果他步行12千米所用时间与骑车行36千米所用的时间相等，求他步行40千米用多少小时？

　　答案：

　　1。（1）mn m+n；（2）m a－b－ma；（3）ma a+b。

　　2。（1）第二次加工时，每小时加工125个零件。

　　（2）步行40千米所用的时间为40 4=10（时）。答步行40千米用了10小时。

　　（3）江水的流速为4千米／时。

　　课堂教学设计说明

　　1 教学设计中，对于例1，引导学生依据题意，找到三个等量关系，并用两种不同的方法列出方程；对于例2，引导学生依据题意，用三种不同的方法列出方程。这种安排，意在启发学生能善于从不同的角度、不同的方向思考问题，激励学生在解决问题中养成灵活的思维习惯。这就为在列分式方程解应用题教学中培养学生的发散思维提供了广阔的空间。

　　2 教学设计中体现了充分发挥例题的模式作用。例1是行程问题，其中距离是已知量，求速度（或时间）；例2是工程问题，其中工作总量为已知量，求完成工作量的时间（或工作效率）。这些都是运用列分式方程求解的典型问题。教学中引导学生深入分析已知量与未知量和题目中的等量关系，以及列方程求解的思路，以促使学生加深对模式的主要特征的理解和识另？别，让学生弄清哪些类型的问题可借助于分式方程解答，求解的思路是什么。学生完成课堂练习和作业，则是识别问题类型，能把面对的问题和已掌握的模式在头脑中建立联系，探求解题思路。

　　3 通过列分式方程解应用题数学，渗透了方程的思想方法，从中使学生认识到方程的思想方法是数学中解决问题的一个锐利武器。方程的思想方法可以用“以假当真”和“弄假成真”两句话形容。如何通过设直接未知数或间接未知数的方法，假设所求的量为x，这时就把它作为一个实实在在的量。通过找等量关系列方程，此时是把已知量与假设的未知量平等看待，这就是“以假当真”。通过解方程求得问题的解，原先假设的未知量x就变成了确定的量，这就是“弄假成真”。

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