等比数列的前n项和教案

等比数列的前n项和教案

　　在教学工作者开展教学活动前，时常需要编写教案，教案是教学活动的依据，有着重要的地位。那要怎么写好教案呢？以下是小编为大家收集的等比数列的前n项和教案 ，希望能够帮助到大家。

等比数列的前n项和教案 1

　　教学准备

　　教学目标

　　熟悉与数列知识相关的背景，如增长率、存款利息等问题，提高学生阅读理解能力、抽象转化的能力以及解答实际问题的能力，强化应用仪式。

　　教学重难点

　　熟悉与数列知识相关的背景，如增长率、存款利息等问题，提高学生阅读理解能力、抽象转化的能力以及解答实际问题的能力，强化应用仪式。

　　教学过程

　　【复习要求】熟悉与数列知识相关的背景，如增长率、存款利息等问题，提高学生阅读理解能力、抽象转化的能力以及解答实际问题的能力，强化应用仪式。

　　【方法规律】应用数列知识界实际应用问题的关键是通过对实际问题的综合分析，确定其数学模型是等差数列，还是等比数列，并确定其首项，公差或公比等基本元素，然后设计合理的计算方案，即数学建模是解答数列应用题的关键。

　　一、基础训练

　　1、某种细菌在培养过程中，每20分钟*一次一个*为两个，经过3小时，这种细菌由1个可繁殖成

　　A、511B、512C、1023D、1024

　　2、若一工厂的生产总值的月平均增长率为p，则年平均增长率为

　　A、B、

　　C、D、

　　二、典型例题

　　例1：某人每期期初到银行存入一定金额A，每期利率为p，到第n期共有本金nA，第一期的利息是nAp，第二期的利息是n—1Ap……，第n期即最后一期的利息是Ap，问到第n期期末的本金和是多少？

　　评析：此例来自一种常见的存款叫做零存整取。存款的方式为每月的'某日存入一定的金额，这是零存，一定时期到期，可以提出全部本金及利息，这是整取。计算本利和就是本例所用的有穷等差数列求和的方法。用实际问题列出就是：本利和=每期存入的金额[存期+1/2存期存期+1利率]

　　例2：某人从1999到20xx年间，每年6月1日都到银行存入m元的一年定期储蓄，若每年利率q保持不变，且每年到期的存款本息均自动转为新的一年定期，到20xx年6月1日，此人到银行不再存款，而是将所有存款的本息全部取回，则取回的金额是多少元？

　　例3、某地区位于沙漠边缘，人与自然进行长期顽强的斗争，到1999年底全地区的绿化率已达到30%，从20xx年开始，每年将出现以下的变化：原有沙漠面积的16%将栽上树，改造为绿洲，同时，原有绿洲面积的4%又被侵蚀，变为沙漠。问经过多少年的努力才能使全县的绿洲面积超过60%。lg2=0.3

　　例4、流行性感冒简称流感是由流感病毒引起的急性呼吸道传染病。某市去年11月分曾发生流感，据资料记载，11月1日，该市新的流感病毒感染者有20人，以后，每天的新感染者平均比前一天的新感染者增加50人，由于该市医疗部门采取措施，使该种病毒的传播得到控制，从某天起，每天的新感染者平均比前一天的新感染着减少30人，到11月30日止，该市在这30天内感染该病毒的患者共有8670人，问11月几日，该市感染此病毒的新的患者人数最多？并求这一天的新患者人数。

等比数列的前n项和教案 2

　　一、教材分析与学情分析

　　“等比数列前n项和(一)”是教学等差数列前n项和后的数列求和，它是数列教学的重点。因此，知识目标是等比数列的前n项和公式及公式推导和思路，它是本节的重点，也是基于等比数列的“等比”特性的一种特殊求和方法。再对公比q的讨论，从而得到等比数列的前n项和公式。

　　由于是理科实验班的教学，学生起点高，能力较强，通过创设适当的问题情景，引出数学教学的内容，在“观察”、“类比”、“分析”、“思考”、“探究”等活动中，引导学生自己发现问题、提出问题，通过亲身的探究，主动的思考，进而联想推出等比数列的求和公式。而德育目标则是通过自主探究，学生自己动手，激发学生数学学习的兴趣，陶冶学生的情操，提高学生的数学修养、科学的学习态度和创新精神。本课融数学文化于其中，使学生在良好的数学文化的氛围中快乐的学习，在数学的美中享受学习数学的快乐。

　　二、教学目标

　　1.掌握等比数列的前n项和公式及公式推导和思路;

　　2.培养学生的综合能力，提高学生的数学修养;

　　3.会灵活运用等比数列的前n项和公式解决问题.

　　三、教学重点、教学难点

　　教学重点

　　1.等比数列的前n项和公式;

　　2.等比数列的前n项和公式推导.

　　教学难点

　　1.错项相减的数学思想方法

　　2.使用公式求和时，对q=1和q≠1的情况加以讨论;

　　四、教学方法

　　1.启发讨论法(老师引导，学生自己动手，学生讨论)

　　2.利用多媒体、投影仪

　　五、设计思路

　　1.等比数列n项和公式(一)教学的“三步曲”

　　第一步，由故事创设情景，使学生提出问题，进而引出课题

　　第二步，学生观察、分析等比数列的前n项中各项的特点，进而探索解决问题的方法。

　　第三步，学生在公式的推导中，特别是对公比q的讨论。

　　学生解决问题前要“设想”----解决过程中要“联想”(解决的方法)----解决后要“回想”(即反思)的良好思维过程。

　　2.例题与练习的设计

　　整节课是“启发、练习、探索”，边启发、边练习、边思考、边讨论。以学生活动为中心，设计例题由简单到复杂，融数学文化为一体，使数学文化与数学问题交相辉映、珠联璧合。例1“求等比数列

　　(1)前9项的和;(2)从第4项到第6项的和;(3)前9项中奇数项的和”是巩固等比数列n项和公式，在(1)问中设计了公比为负的障碍，在(2)问探讨求和的不同方法，(3)问探讨奇数项是公比为q2的等比数列，进而训练学生的思维。例2是培养学生分类讨论的思想。例3给出一个错误的解答，培养学生批判性思维。例4“远望巍巍塔七层,灯光点点倍加增，此塔共灯二五四,请问塔尖几盏灯?”由七言诗提出问题，培养学生解决实际问题的能力。

　　3.最后设计探究问题

　　在课堂最后设计了两个探究性问题：

　　①求和：;②.你能用等比数列的定义与等比定理推导Sn吗?警示学生等比数列中的三个“暗礁”。既锻炼了学生全面考虑问题的习惯，又培养了学生探索问题的能力。

　　六、教学过程

　　(一)创设情境、提出问题：

　　师：若，(q为常数，)，{an}是等比数列吗?学生回答。

　　(师：著名的数学家希尔伯特说过“一个问题解决了，一个新的问题又产生了”，请同学们看屏幕上国王赏麦的故事)

　　“国王赏麦的故事”

　　印度国王西拉谟与国际象棋发明家的故事，国王要奖赏国际象棋的发明者,问他有什么要求,发明者说:“请在棋盘的第1个格子里放上1颗麦粒,在第2个格子里放上2颗麦粒,在第3个格子里放上4颗麦粒,在第4个格子里放上8颗麦粒,依此类推,每个格子里放的麦粒数都是前一个格子里放的麦粒的2倍,直到第64个格子,请给我足够的粮食来实现上述要求”.国王觉得这并不是很难办到的,就欣然同意了他的要求.

　　提问：

　　1.你认为身为一国之君的国王能拿出这么多麦粒吗?

　　2.你想知道计算麦粒的总数的方法吗?

　　由于每个格子里的麦粒数都是前一个格子里的麦粒数的2倍,且共有64个格子,各个格子里的麦粒数依次是1，2，22，23，24……263于是发明者要求的麦粒总数就是1+2+22+23+24……+263=?

　　(板书课题:等比数列前n项和)

　　(二)公式的推导：

　　回答问题：麦粒数为1+2+22+23+24……+263=18446744073709551615约为7000亿吨!!

　　设计意图：学生自己观察、分析、探索培养解决问题的能力。使学生亲自参与、自己动手和洞察问题。

　　(三)公式应用：

　　设计意图：1.公式的应用;2.思维的训练;3.方法的讨论

　　例2、已知{an}为等比数列，且a3=3,S3=3，求a1q.

　　分析及讨论：当q=1时，a1=a2=a3=3与S3=3矛盾

　　2.数学思想和方法：

　　①错项相减;②分类讨论;③方程的思想。

　　(六)思考与研究：

　　1.求和：Sm=a+2a2+3a3+L+nan学生练习、讨论)

　　2.你能用等比数列的定义与等比定理推导Sn吗?(学生自己探索)

　　设计意图：培养学生探索问题的能力和创新精神。

　　(七)作业：课本P143练习

　　师：“纸上得来终觉浅，绝知此事要躬行”，希望同学们加强训练。然而引起了学生的共鸣，大家一起面带微笑的背诵

　　七、板书设计

　　八、教学反思

　　“等比数列的前n项和(一)”是高中教材中较难的一节课，笔者依据新课程的理念，“教师为主导、学生为主体、探究为主线、思维为主攻”的教学思想。对这节课的教学作了一点尝试。在教学实践中学生精神饱满、兴趣浓厚、合作积极，与我保持的良好的互动，收到了较好的效果。

　　1.设计及其反思的改进

　　由“国王赏麦”的故事提出问题、引出课题，引导学生探究等比数列前n项和，在引导学生探究等比数列和的计算方法，使学生观察、分析、类比、联想，如何解决问题。有意识的使学生在推导过程中，没有考虑到公比的q=1和q≠1情形。从而突破了公比的q=1和q≠1难点，学生在推导公式中通过自己探究解决了“错项相减”的.重要数学思想。对问题的探索用等比数列的定义与等比定理推导等比数列的前n项和公式与“错项相减”的数学思想有同工异曲之妙。高中新课程正强调对数学本质的认识，强调返璞归真，努力揭示数学概念、法则、结论的发展过程和本质。教师应把数学的学术形态转化为学生易于接受的教学形态。

　　2.新课程理念

　　(1)以学生为主体

　　爱因斯坦说过：“单纯的专业知识灌输只能产生机器，而不可能造就一个和谐发展的人才”，因此数学学习的核心是思考，离开思考就没有真正的数学。这节课，教师创设了一系列的问题情景，边展示，边提问，让学生边观察，边思考，边讨论。鼓励学生积极参与教学活动，包括思维参与和行为参与，鼓励学生发现数学的规律和问题的解决的途径，使他们经历知识形成的过程。在教学难点处适当放慢节奏，给学生充分的时间进行思考与讨论，让学生做课堂的主人，充分发表自己的意见。激励的语言、轻松愉悦的氛围、民主的教学方式，不仅使学生品尝到类比成功的欢愉，而且也使其受到美的韵味的熏陶。

　　(2)巧设情景，倡导自主探索、合作交流的学习方式

　　学生的数学学习活动不应只限于接受、记忆、模仿和练习，还应倡导自主探索、合作交流等学习方式，这些方式有助于发挥学生学习的主动性，使学生的学习过程成为在教师引导下，不断经历只管感知、观察发现、归纳类比、抽象概括、演绎证明、反思与建构等思维过程，体验等比数列前n项和公式的“在创造”过程，让学生在生生互动、师生互动中掌握知识，提高解决问题的能力。

　　苏霍姆林说过：“在人的内心深处，都有一种根深蒂固的需要，那就是希望自己是一个发现者和探索者。”本节课正是抓住学生的这一心理需求，从新课引入到课后作业，创设了一系列“数学探究”活动，为学生开展积极主动的、多样的学习方式，创设有利条件，激发了学生学习数学的兴趣，并鼓励学生在学习过程中，养成独立思考，积极探索的习惯。

　　(3)渗透数学文化和情感教育

　　高中数学课程提倡体数学的文化价值，体会数学的科学价值，应用价值、人文价值，开阔视野，探究数学发展的历史轨迹，提高文化素养，养成求实、说理、批判、质疑等理性的习惯和锲而不舍的追求真理精神。这节课使用中外数学文化熏陶学生心灵，激发学习数学的兴趣，提高学生对数学的认识，营造热爱数学的氛围，增强学习信心。

　　(4)激励评价

　　马斯洛特别指出：“自尊需要的满足使人产生一种自信的感情，觉得自己在这个世界上有价值、有实力、有能力、有用处，而这一需要一旦受挫就会使人产生一种自卑、软弱、无能之感觉”。因此，当学生获得成功时应及时给予评价表扬，并让其他学生一道分享成功的欢乐;当学生遇到困难或失败信心不足时，应及时进行勉励，注意从失败中挖掘部分成功，并继续帮助学生从失败中走向成功，以保护学生的自尊心。

等比数列的前n项和教案 3

　　一、教材分析

　　1.从在教材中的地位与作用来看

　　《等比数列的前n项和》是数列这一章中的一个重要内容，从教材的编写顺序上来看，等比数列的前n项和是第一章“数列”第六节的内容，它是“等差数列的前n项和”与“等比数列”内容的延续、与前面学习的函数等知识也有着密切的联系。就知识的应用价值上来看，它不仅在现实生活中有着广泛的实际应用，如储蓄、分期付款的有关计算等等，而且公式推导过程中所渗透的类比、化归、分类讨论、整体变换和方程等思想方法，都是学生今后学习和工作中必备的数学素养。就内容的人文价值上来看，等比数列的前n项和公式的探究与推导需要学生观察、分析、归纳、猜想，有助于培养学生的创新思维和探索精神,是培养学生应用意识和数学能力的良好载体。

　　2.从学生认知角度来看

　　从学生的思维特点看，很容易把本节内容与等差数列前n项和从公式的形成、特点等方面进行类比，这是积极因素，应因势利导.不利因素是：本节公式的推导与等差数列前n项和公式的推导有着本质的不同，这对学生的思维是一个突破，另外，对于q = 1这一特殊情况，学生往往容易忽视，尤其是在后面使用的过程中容易出错。

　　3.学情分析

　　教学对象是刚进入高二的学生，虽然具有一定的分析问题和解决问题的能力，逻辑思维能力也初步形成，但对问题的分析缺乏深刻性和严谨性。

　　4.重点、难点

　　教学重点：公式的推导、公式的特点和公式的运用.

　　教学难点：公式的推导方法和公式的灵活运用.

　　公式推导所使用的“错位相减法”是高中数学数列求和方法中最常用的方法之一，它蕴含了重要的数学思想，所以既是重点也是难点。

　　二、目标分析

　　1.知识与技能目标：理解等比数列的前n项和公式的推导方法;掌握等比数列的前n项和公式并能运用公式解决一些简单问题。

　　2.过程与方法目标：通过公式的推导过程，培养学生猜想、分析、综合的思维能力，提高学生的建模意识及探究问题、分析与解决问题的能力，体会公式探求过程中从特殊到一般的思维方法，渗透方程思想、分类讨论思想及转化思想，优化思维品质。

　　3.情感态度与价值观：通过经历对公式的探索，激发学生的求知欲，鼓励学生大胆尝试、勇于探索、敢于创新，磨练思维品质，从中获得成功的体验，感受思维的奇异美、结构的对称美、形式的简洁美、数学的严谨美。用数学的观点看问题，一些所谓不可理解的事就可以给出合理的解释，从而帮助我们用科学的态度认识世界。

　　三、教学方法与教学手段

　　本节课属于新授课型，主要利用计算机辅助教学，采用启发探究，合作学习，自主学习等的教学模式.

　　四、教学过程分析

　　学生是认知的主体，也是教学活动的主体，设计教学过程必须遵循学生的认知规律，引导学生去经历知识的形成与发展过程，结合本节课的特点，我按照自主学习的教学模式来设计如下的教学过程，目的是在教学过程中促使学生自主学习，培养自主学习的习惯和意识，形成自主学习的能力。

　　1.创设情境，提出问题

　　一个穷人到富人那里去借钱,原以为富人不愿意，哪知富人一口答应了下来,但提出了如下条件：在30天中，富人第一天借给穷人1万元,第二天借给穷人2万元,以后每天所借的钱数都比上一天多1万;但借钱第一天,穷人还1分钱,第二天还2分钱,以后每天所还的钱数都是上一天的两倍,30天后互不相欠.穷人听后觉得挺划算,本想定下来,但又想到此富人是吝啬出了名的,怕上当受骗,所以很为难。”请在座的同学思考讨论一下,穷人能否向富人借钱?

　　启发引导学生数学地观察问题，构建数学模型。

　　学生直觉认为穷人可以向富人借钱，教师引导学生自主探求，得出：

　　穷人30天借到的钱：(万元)

　　穷人需要还的钱：?

　　2.学生探究，解决情境

　　(2)教师紧接着把如何求?的问题让学生探究，①若用公比2乘以上面等式的两边，得到②

　　若②式减去①式，可以消去相同的项，得到：

　　(分) ≈1073(万元) > 465(万元)

　　由此得出穷人不能向富人借钱

　　【设计意图】留出时间让学生充分地比较，等比数列前n项和的公式推导关键是变“加”为“减”，在教师看来这是很显然的事，但在学生看来却是“不可思议”的，因此教学中应着力在这儿做文章，从而培养学生的辩证思维能力.

　　解决情境问题：经过比较、研究，学生发现：(1)、(2)两式有许多相同的项，把两式相减，相同的项就可以消去了，得到：≈1073(万元) > 465(万元) 。老师强调指出：这就是错位相减法，并要求学生纵观全过程，反思：为什么(1)式两边要同乘以2呢?

　　【设计意图】经过繁难的计算之苦后，突然发现上述解法，不禁惊呼：真是太简洁了，让学生在探索过程中，充分感受到成功的情感体验，从而增强学习数学的兴趣和学好数学的信心，同时也为推导一般等比数列前n项和提供了方法。

　　3.类比联想，解决问题

　　这时我再顺势引导学生将结论一般化，设等比数列为，公比为q，如何求它的前n项和?让学生自主完成，然后对个别学生进行指导。

　　一般等比数列前n项和：

　　即

　　方法：错位相减法

　　这里的.q能不能等于1?等比数列中的公比能不能为1?q=1时是什么数列?此时sn=?

　　在学生推导完成之后，我再问：由得

　　【设计意图】在教师的指导下，让学生从特殊到一般，从已知到未知，步步深入，让学生自己探究公式，从而体验到学习的愉快和成就感。

　　4.小组合作，交流展示

　　探究1.求和

　　探究2.求等比数列的第5项到第10项的和.

　　方法1：观察、发现：.

　　方法2：此等比数列的连续项从第5项到第10项构成一个新的等比数列。

　　探究3：求的前n项和.

　　【设计意图】采用变式教学设计题组，深化学生对公式的认识和理解，通过直接套用公式、变式运用公式、研究公式特点这三个层次的问题解决，促进学生新的数学认知结构的形成.通过以上形式，让全体学生都参与教学，以此培养学生自主学习的意识.解题时，以学生分析为主，教师适时给予点拨。

　　5.总结归纳，加深理解

　　以问题的形式出现，引导学生回顾公式、推导方法，鼓励学生积极回答，然后老师再从知识点及数学思想方法两方面总结。

　　1.等比数列的前n项和公式

　　2.数学思想：(1)分类讨论(2)方程思想

　　3.数学方法：错位相减法

　　【设计意图】以此培养学生的口头表达能力，归纳概括能力。

　　6.当堂检测

　　(1)口答：

　　在公比为q的等比数列中

　　若，则________，若，则________

　　若=3，=81，求q及，若，求及q.

　　(2)判断是非：

　　①()

　　②()

　　③若③且，则

　　【设计意图】对公式的再认识，剖析公式中的基本量及结构特征，识记公式,并加强计算能力的训练。

　　7.课后作业，分层练习

　　必做：P30习题1—3 A组第1题，选作题1：求的前n项和

　　(2)思考题：能否用其他方法推导等比数列前n项和公式

　　【设计意图】布置弹性作业以使各个层次的学生都有所发展.让学有余力的学生有思考的空间，便于学生开展自主学习。

　　五、评价分析

　　本节课通过推导方法的研究，使学生掌握了等比数列前n项和公式.错位相减：变加为减，等价转化;递推思想：纵横联系，揭示本质;学生从中深刻地领会到推导过程中所蕴含的数学思想，培养了学生思维的深刻性、敏锐性、广阔性、批判性.同时通过展示交流，学生点评，教师总结，使学生既巩固了知识，又形成了技能，在此基础上，通过民主和谐的课堂氛围，培养了学生自主学习、合作交流的学习习惯，也培养了学生勇于探索、不断创新的思维品质，形成学习能力。

　　六、教学设计说明

　　1.情境设置生活化.

　　本着新课程的教学理念，考虑到高二学生的心理特点，让学生学生初步了解“数学来源于生活”，采用故事的形式创设问题情景，意在营造和谐、积极的学习气氛，激发学生主动探究的欲望。

　　2.问题探究活动化.

　　教学中本着以学生发展为本的理念，充分给学生想的时间、说的机会以及展示思维过程的舞台，通过他们自主学习、合作探究,展示学生解决问题的思想方法，共享学习成果，体验数学学习成功的喜悦.通过师生之间不断合作和交流，发展学生的数学观察能力和语言表达能力，培养学生思维的发散性和严谨性。

　　3.辨析质疑结构化.

　　在理解公式的基础上,及时进行正反两方面的“短、平、快”填空和判断是非练习.通过总结、辨析和反思，强化了公式的结构特征，促进学生主动建构，有助于学生形成知识模块，优化知识体系。

　　4.巩固提高梯度化.

　　例题通过公式的正用和逆用进一步提高学生运用知识的能力;由教科书中的例题改编而成，并进行适当的变式,可以提高学生的模式识别的能力，培养学生思维的深刻性和灵活性。

　　5.思路拓广数学化.

　　从整理知识提升到强化方法，由课内巩固延伸到课外思考，变“知识本位”为“学生本位”，使数学学习成为提高学生素质的有效途径。以生活中的实例作为思考，让学生认识到数学来源于生活并应用于生活，生活中处处有数学.

　　6.作业布置弹性化.

　　通过布置弹性作业，为学有余力的学生提供进一步发展的空间，有利于丰富学生的知识，拓展学生的视野，提高学生的数学素养.

　　七.教学反思

　　学生的根据高二学生心理特点、教材内容、遵循因材施教原则和启发性教学思想，本节课的教学策略与方法我采用规则学习和问题解决策略，即“案例—公式—应用”，案例为浅层次要求，使学生有概括印象。公式为中层次要求，由浅入深，重难点集中推导讲解，便于突破。应用为综合要求，多角度、多情境中消化巩固所学，反馈验证本节教学目标的落实。

　　其中，案例是基础，使学生感知教材;公式为关键，使学生理解教材;练习为应用，使学生巩固知识，举一反三。

　　在这三步教学中，以启发性强的小设问层层推导，辅之以学生的分组小讨论并充分运用直观完整的板书和计算机课件等教辅用具、手段，改变教师讲、学生听的填鸭式教学模式，充分体现学生是主体，教师教学服务于学生的思路，而且学生通过“案例—公式—应用”，由浅入深，由感性到理性，由直观到抽象，不仅加深了学生理解巩固与应用，也培养了

　　思维能力。

　　这节课总体上感觉备课比较充分，各个环节相衔接，能够形成一节完整就为系统的课。本节课教学过程分为导入新课、公式推导、合作探究、课堂小结、当堂检测、布置作业。本节课总体上讲对于内容的把握基本到位，对学生的定位准确，教学过程中留给学生思考的时间，以学生为主体。

　　亮点之处：

　　学生成为课堂的主体，教师要甘当学生的绿叶

　　由于数学的抽象、思维严谨等特点，学生往往对于一些较为复杂或者变化多样的题目容易望而生畏，出现懒得动脑思考、动笔去做的现象。教师也常因为时间的限制不可能给学生过多的时间去做“无用功”。在本节课上我放手让学生去思考，让学生去摸索。不怕学生出错，就是让学生能够在摸索中增强思维能力、解题技能和计算经验。特别是在例3中，教师针对题目做了简要的分析和提示，让学生去尝试着解题。张漫同学的板书详尽，将思路方法概括表述出来，过程完整。只是结果出现了一个小错误，教师在点评过程中给予指出，同时也个结果错误也是学生经常犯的。

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